الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
الدراسة التي لا تُجرى إلا على طلاب جامعيين أمريكيين قد تفتقر إلى:
- Aالثبات بين المقيّمين
- Bصدق المجتمع
- Cالاتساق الداخلي
- Dصدق المحتوى
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
أي اختبار لامعلمي يقارن عيّنتين مرتبطتين، مثل درجات قبل وبعد على مقياس رتبي؟
- Aاختبار مربع كاي للاستقلال
- Bاختبار مان-ويتني U
- Cاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
- Dاختبار t للعيّنات المستقلة
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 28, 25, 37, 27, 50, 26.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 50. ما نسبة P القيم الأكبر من 475؟
μ = 500σ = 50x = 475
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و5 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
7 / 5
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 8 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,2. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 8p = 0,2
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 20 و 42,8 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 42,8
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 25 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 7. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% من البيانات نفسها؟
90%n₁ = 25E₁ = 795%
E₂ =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 26. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟
σ = 26E = 2,590%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 100 جزءًا متوسط طولها 120 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 5 mm. الخط 2: عينة من 40 جزءًا متوسطها 122,2 mm، والانحراف المعياري المعلوم 5 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).
n₁ = 100x̄₁ = 120 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 40x̄₂ = 122,2 mmσ₂ = 5 mm
z =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ > 100 عند α = 0,10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 2,5. في الواقع المتوسط 100,6. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 100μ = 100,6σ = 2,5n = 25α = 0,10
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (21,5, 59). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(21,5, 59)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · صدق المجتمع
لماذا هذه هي الإجابة
صدق المجتمع نوع من الصدق الخارجي، والعينات التي يغلب عليها الشباب والغربيون والمتعلمون قد لا تمثل غيرهم.
الإجابة
B · صدق المجتمع
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
لماذا هذه هي الإجابة
اختبار ويلكوكسون مخصص للبيانات الرتبية المزدوجة، واختبار مان-ويتني U هو نظيره للمجموعات المستقلة.
الإجابة
C · اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 9,745
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 193/6 = 32,17
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−4,167)² + (−7,167)² + 4,833² + (−5,167)² + 17,83² + (−6,167)² = 474,8
الانحراف المعياري
s = √(474,8/5) = 9,745
الإجابة
s = 9,745
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,6915
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −0,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
الإجابة
P = 0,6915
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3182
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182
الإجابة
P = 0,3182
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,5033
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,88 = 0,1678
P(X = 1) = 8·0,2·0,87 = 0,3355
اجمعها
P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033
الإجابة
P = 0,5033
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9413
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,8) − Φ(−2) = 0,9641 − 0,02275 = 0,9413
الإجابة
P = 0,9413
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7881
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 4)/5 = −0,8
الاحتمال
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
الإجابة
P = 0,7881
9.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 8,34
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/25) = 1,191
الهامش الجديد
E₂ = 7·1,191 = 8,34
الإجابة
E₂ = 8,34
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 293
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·26/2,5)² = 292,7
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 293
الإجابة
n = 293
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −2,352
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
الخطأ المعياري للفرق
SE = √(5²/100 + 5²/40) = √0,875 = 0,9354
إحصائية الاختبار
z = (120 − 122,2)/0,9354 = −2,352
الإجابة
z = −2,352
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 46,73 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 2,5/√25 = 0,5
x̄c = 100 + 1,282·0,5 = 100,6
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (100,6 − 100,6)/0,5 = 0,082
القدرة
القوة = P(Z > 0,082) = 46,73%
1 − β = 46,73%
الإجابة
1 − β = 46,73%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9362
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 142/6 = 23,67
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 51,33
معامل التحديد
r² = −29²/(17,5·51,33) = 0,9362
الإجابة
r² = 0,9362
نحو 93,62% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −4,55
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 338/5 = 67,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243
خط الانحدار
b = 243/90 = 2,7
a = 67,6 − 2,7·23 = 5,5
ŷ = 5,5 + 2,7·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 5,5 + 2,7·21,5 = 63,55
البُواقي
e = 59 − 63,55 = −4,55
الإجابة
e = −4,55
تقع النقطة تحت الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 27,43
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الدواء الجديد: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24
الدواء الوهمي: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30
إحصاءة مربع كاي
χ² = (40 − 56)²/56 + (40 − 24)²/24 + (86 − 70)²/70 + (14 − 30)²/30
χ² = 27,43
الإجابة
χ² = 27,43
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 7
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 − 1 = 7
الإجابة
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology