مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

دراسة مسجلة مسبقًا (preregistered). هذا يعني أن:

Aالنتائج فحصها وأقرّها إحصائي ثانٍ مستقل قبل النشر
Bالفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات
Cالدراسة نُشرت بالفعل
Dالمشاركين سجّلوا موافقتهم عبر الإنترنت

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تُظهر دراسة أن استبيانًا يرتبط ارتباطًا قويًا باختبار معتمد للمفهوم نفسه. هذا يدعم:

Aالصدق الظاهري
Bثبات إعادة الاختبار
Cالصدق التلازمي
Dالصدق البيئي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 51, 17, 56, 43, 47, 55, 32.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 42؟

μ = 50σ = 10x = 42

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 4 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 4

P =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €40 باحتمال 0,3 و€500 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €10€40: p = 0,3€500: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 10 منها 247,6 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 247,6 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 6 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −9,3 وانحرافها المعياري 6,1. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 6d̄ = −9,3s_d = 6,190%t(5) = 2,015

الحد الأعلى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 11. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 11E = 390%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 103,4 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,4s = 8n = 16

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 16 من 80 مريضًا على العلاج A، و 63 من 250 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 63n₂ = 250

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 142Σx² = 91Σy² = 3398Σxy = 474

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 56؟

n = 5ŷ = 56

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، متوسط».

مجموع الصف = 112مجموع العمود = 40N = 166

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 2 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات

لماذا هذه هي الإجابة

يفصل التسجيل المسبق بين التحليلات التأكيدية والاستكشافية ويقلل ممارسات مثل التلاعب بقيمة p (p-hacking) وHARKing.

الإجابة

B · الفرضيات والطرق وخطة التحليل سُجّلت علنًا قبل جمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · الصدق التلازمي

لماذا هذه هي الإجابة

يظهر الصدق التلازمي عندما يتفق مقياس جديد مع مقياس معتمد طُبّق في الوقت نفسه تقريبًا.

الإجابة

C · الصدق التلازمي

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,08

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 301/7 = 43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 8² + (−26)² + 13² + 0² + 4² + 12² + (−11)² = 1190

الانحراف المعياري

s = √(1190/6) = 14,08

الإجابة

s = 14,08

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7881

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,5177

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

الإجابة

P = 0,5177

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 27 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 30 (p = 0,3), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

القيمة المتوقعة

E(G) = 30·0,3 + 490·0,05 − 10·0,65 = 27 €

الإجابة

E(G) = 27 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9357

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (247,6 − 250)/1,581 = −1,52

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,52) = 0,9357

الإجابة

P = 0,9357

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −4,282 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 5, t = 2,015

هامش الخطأ

E = 2,015·6,1/√6 = 5,018

الفترة

−9,3 ± 5,018 → [−14,32, −4,282]

الإجابة

الحد الأعلى = −4,282 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 37

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·11/3)² = 36,38

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 37

الإجابة

n = 37

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,7

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

إحصائية الاختبار

t = (103,4 − 100)/2 = 1,7

الإجابة

t = 1,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −0,9487

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 16/80 = 0,2

p̂₂ = 63/250 = 0,252

p̂ = 79/330 = 0,2394

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,2394·0,7606·(1/80 + 1/250)) = 0,05481

إحصائية الاختبار

z = (0,2 − 0,252)/0,05481 = −0,9487

الإجابة

z = −0,9487

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,8998

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 474 − 21·142/6 = −23

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3398 − 142²/6 = 37,33

معامل الارتباط

r = −23/√(17,5·37,33) = −0,8998

الإجابة

r = −0,8998

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,465

المتوسطات

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 313/5 = 62,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

خط الانحدار

b = 43/10 = 4,3

a = 62,6 − 4,3·4 = 45,4

ŷ = 45,4 + 4,3·x

حلّ لإيجاد x

x = (56 − 45,4)/4,3 = 2,465

الإجابة

x = 2,465

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 26,99

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 112·40/166 = 26,99

الإجابة

E = 26,99

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 3,841

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

الجدول

χ²_crit(df = 1, α = 0,05) = 3,841

الإجابة

χ²_crit = 3,841

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology