الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
فترة الثقة 95% لمتوسط قدره 50 هي من 46 إلى 54. ما أدق تفسير؟
- Aالنتيجة غير دالة
- Bهناك احتمال 95% أن يكون متوسط العينة 50
- Cحصل 95% من المشاركين الأفراد في العينة على درجات بين 46 و54 في المقياس
- Dالإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
في دراسات ميلغرام للطاعة اعتقد المشاركون أنهم يعطون صدمات كهربائية حقيقية. أي قضية أخلاقية تُثار بأكثر الطرق مباشرة، وكيف عولجت جزئيًا؟
- Aاستخدام الأطفال، وعولج بموافقة الوالدين
- Bغياب مجموعة ضابطة، وعولج بتوزيع المشاركين عشوائيًا على الشروط
- Cالخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل
- Dانعدام السرية، وعولج بنشر الأسماء
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 32, 21, 41, 10, 31, 21, 45.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 47,5.
μ = 70σ = 15x = 47,5
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 4 كرات حمراء و9 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
4 / 9
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 6 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 6p = 0,25
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. ما النسبة التي تقع بين 420 و 534 h؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 500σ = 40x1 = 420x2 = 534
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 85% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 12 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 0,5 وانحرافها المعياري 4,7. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.
n = 12d̄ = 0,5sd = 4,799%t(11) = 3,106
الحد الأعلى = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 29. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 2 على الأكثر؟
σ = 29E = 299%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 99,22 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 99,22s = 5n = 81
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ < 80 عند α = 0.05 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 15. في الواقع المتوسط 69.8. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 80μ = 69,8σ = 15n = 25α = 0,05
1 − β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (19,5, 101). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(19,5, 101)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 6 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟
3 × 6
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
لماذا هذه هي الإجابة
تعطي فترة الثقة 95% مدى من القيم المعقولة لمعلمة المجتمع. والفترات الأضيق، الناتجة عن عينات أكبر، تعني تقديرات أدق.
الإجابة
D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · الخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل
لماذا هذه هي الإجابة
خُدع المشاركون بشأن الصدمات وأظهر كثير منهم ضغطًا شديدًا. وأجرى ميلغرام إيضاحًا لاحقًا للمشاركين والتقوا «المتعلّم»، ووجدت متابعة أن معظمهم كانوا سعداء بمشاركتهم، لكن الأخلاقيات لا تزال موضع جدل.
الإجابة
C · الخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,26
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 201/7 = 28,71
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 3,286² + (−7,714)² + 12,29² + (−18,71)² + 2,286² + (−7,714)² + 16,29² = 901,4
الانحراف المعياري
s = √(901,4/6) = 12,26
الإجابة
s = 12,26
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −1,5
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (47,5 − 70)/15 = −1,5
الإجابة
z = −1,5
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,07692
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692
الإجابة
P = 0,07692
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,5339
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,756 = 0,178
P(X = 1) = 6·0,25·0,755 = 0,356
اجمعها
P = 0,178 + 0,356 = 0,5339
الإجابة
P = 0,5339
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7796
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (420 − 500)/40 = −2
z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,85) − Φ(−2) = 0,8023 − 0,02275 = 0,7796
الإجابة
P = 0,7796
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 255,2 g
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,85
z من الجدول
z ≈ 1,04
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
الإجابة
x = 255,2 g
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 4,714 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 11, t = 3,106
هامش الخطأ
E = 3,106·4,7/√12 = 4,214
الفترة
0,5 ± 4,214 → [−3,714, 4,714]
الإجابة
الحد الأعلى = 4,714 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 1396
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·29/2)² = 1395
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 1396
الإجابة
n = 1396
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,404
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
إحصائية الاختبار
t = (99,22 − 100)/0,5556 = −1,404
الإجابة
t = −1,404
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 96,04 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 80 − 1,645·3 = 75,06
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (75,06 − 69,8)/3 = 1,755
القدرة
القوة = P(Z < 1.755) = 96.04%
1 − β = 96,04%
الإجابة
1 − β = 96,04%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9832
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 752/6 = 125,3
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 894
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5161
معامل التحديد
r² = 894²/(157,5·5161) = 0,9832
الإجابة
r² = 0,9832
نحو 98,32% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 4,848
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 736/6 = 122,7
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 696
خط الانحدار
b = 696/157,5 = 4,419
a = 122,7 − 4,419·25,5 = 9,981
ŷ = 9,981 + 4,419·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 9,981 + 4,419·19,5 = 96,15
البُواقي
e = 101 − 96,15 = 4,848
الإجابة
e = 4,848
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 2,438
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الطلاب: 80·36/180 = 16, 80·54/180 = 24, 80·90/180 = 40
الموظفون: 100·36/180 = 20, 100·54/180 = 30, 100·90/180 = 50
إحصاءة مربع كاي
χ² = (19 − 16)²/16 + (26 − 24)²/24 + (35 − 40)²/40 + (17 − 20)²/20 + (28 − 30)²/30 + (55 − 50)²/50
χ² = 2,438
الإجابة
χ² = 2,438
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 10
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
الإجابة
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology