مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يدرس باحث أثر الجنس في درجات الذاكرة. لماذا تُعد هذه شبه تجربة لا تجربة حقيقية؟

Aلا يوجد إلا شرطان، والتجربة الحقيقية تحتاج إلى ثلاثة مستويات على الأقل للمتغير المستقل
Bلأن الدراسة تجري في مختبر
Cلأن المتغير التابع لا يُقاس
Dلأن المتغير المستقل خاصية موجودة مسبقًا، فلا يمكن توزيع المشاركين عليه عشوائيًا

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُظهر تحليل تباين عاملي 2 × 3 أن دواءً يحسّن الذاكرة لدى الشباب لكن لا يحسّنها لدى كبار السن. ما الذي وُجد؟

Aأثر الأرضية
Bأثر رئيسي للعمر فقط
Cتفاعل بين الدواء والعمر
Dخطأ من النوع الأول

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 27, 10, 53, 25, 48, 20.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأقل من 38؟

μ = 50σ = 8x = 38

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 4 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

4 / 8

P =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 10 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,3. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 10p = 0,3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 167,5 و 183,95 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,5x₂ = 183,95

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 90% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 9 مفردة متوسطها 115 وانحرافها المعياري s = 2. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 9x̄ = 115s = 290%t(8) = 1,86

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,15 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,05 على الأكثر؟

p ≈ 0,15E = 0,0599%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 500؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 24. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 504. اختبر H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ ≠ 500. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 500σ = 24n = 144x̄ = 504H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.10 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12. في الواقع المتوسط 495.95. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 500μ = 495,95σ = 12n = 64α = 0,10

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 25Σy = 335Σx² = 135Σy² = 22535Σxy = 1702

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1602 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 5 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

3 × 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · لأن المتغير المستقل خاصية موجودة مسبقًا، فلا يمكن توزيع المشاركين عليه عشوائيًا

لماذا هذه هي الإجابة

في شبه التجربة يكون المتغير المستقل فرقًا قائمًا بطبيعته بين الناس. ودون التوزيع العشوائي قد تُربك الفروق الأخرى بين المجموعات النتائج.

الإجابة

D · لأن المتغير المستقل خاصية موجودة مسبقًا، فلا يمكن توزيع المشاركين عليه عشوائيًا

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · تفاعل بين الدواء والعمر

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث التفاعل عندما يختلف أثر عامل ما باختلاف مستويات عامل آخر، وهنا يتوقف أثر الدواء على الفئة العمرية.

الإجابة

C · تفاعل بين الدواء والعمر

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,65

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 183/6 = 30,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−3,5)² + (−20,5)² + 22,5² + (−5,5)² + 17,5² + (−10,5)² = 1386

الانحراف المعياري

s = √(1386/5) = 16,65

الإجابة

s = 16,65

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,09091

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

الإجابة

P = 0,09091

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1493

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,7¹⁰ = 0,02825

P(X = 1) = 10·0,3·0,7⁹ = 0,1211

اجمعها

P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493

الإجابة

P = 0,1493

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7355

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5

z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,85) − Φ(−1,5) = 0,8023 − 0,06681 = 0,7355

الإجابة

P = 0,7355

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 551 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,9

z من الجدول

z ≈ 1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

الإجابة

x = 551 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 113,8

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 8, t = 1,86

هامش الخطأ

E = 1,86·2/√9 = 1,24

الفترة

115 ± 1,24 → [113,8, 116,2]

الإجابة

الحد الأدنى = 113,8

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 339

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,15·0,85/0,05² = 338,4

قرّب إلى الأعلى

n = 339

الإجابة

n = 339

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,0455

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (504 − 500)/2 = 2

مساحة الذيل

Φ(2) = 0,9772

1 − Φ(2) = 0,0228

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0228 = 0,0455

الإجابة

p = 0,0455

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 92,19 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 500 − 1,282·1,5 = 498,1

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (498,1 − 495,95)/1,5 = 1,418

القدرة

القوة = P(Z < 1.418) = 92.19%

1 − β = 92,19%

الإجابة

1 − β = 92,19%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1702 − 25·335/5 = 27

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 22535 − 335²/5 = 90

معامل الارتباط

r = 27/√(10·90) = 0,9

الإجابة

r = 0,9

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 31,05

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 128/6 = 21,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

خط الانحدار

b = 170/70 = 2,429

a = 21,33 − 2,429·7 = 4,333

ŷ = 4,333 + 2,429·x

التنبؤ

ŷ = 4,333 + 2,429·11 = 31,05

الإجابة

ŷ = 31,05

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,844

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 120·32/160 = 24, 120·48/160 = 36, 120·80/160 = 60

الموظفون: 40·32/160 = 8, 40·48/160 = 12, 40·80/160 = 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (24 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36 + (64 − 60)²/60 + (8 − 8)²/8 + (16 − 12)²/12 + (16 − 20)²/20

χ² = 2,844

الإجابة

χ² = 2,844

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 8

درجات الحرية

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

الإجابة

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology