الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
للحصول على عينة فيها نسب طلاب السنة الأولى والثانية والثالثة نفسها الموجودة في مجتمع الجامعة، يجب على الباحث استخدام:
- Aمعاينة الفرصة
- Bمعاينة المتطوعين
- Cمعاينة كرة الثلج
- Dالمعاينة الطبقية
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يُظهر مرضى اختيروا لأن درجات قلقهم مرتفعة جدًا درجات أقل في اختبار ثانٍ، حتى دون علاج. ما التفسير الأرجح؟
- Aأثر هوثورن
- Bالموازنة (counterbalancing)
- Cأثر السقف
- Dالانحدار نحو المتوسط
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 33, 47, 40, 36, 20, 16.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأقل من 82؟
μ = 70σ = 8x = 82
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 3 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
3 / 4
P =
6.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,3، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 10p = 0,3k = 4
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9684. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9684
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 9 مفردة متوسطها 81,5 وانحرافها المعياري s = 10,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.
n = 9x̄ = 81,5s = 10,599%t(8) = 3,355
الحد الأدنى =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 24. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 2 على الأكثر؟
σ = 24E = 299%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 505,8 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 505,8s = 12n = 36
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.01 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12.5. في الواقع المتوسط 492.5. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 500μ = 492,5σ = 12,5n = 25α = 0,01
β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 15,5.
n = 5x = 15,5
ŷ =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».
مجموع الصف = 37مجموع العمود = 26N = 102
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · المعاينة الطبقية
لماذا هذه هي الإجابة
تحدد المعاينة الطبقية مجموعات فرعية (طبقات) وتسحب من كل منها عينة عشوائية تتناسب مع حجمها في المجتمع، فتصبح العينة أكثر تمثيلًا.
الإجابة
D · المعاينة الطبقية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · الانحدار نحو المتوسط
لماذا هذه هي الإجابة
عندما يُختار الناس بسبب درجات متطرفة، فإن خطأ القياس والصدفة يعنيان أن درجاتهم اللاحقة تميل إلى الاتجاه نحو المتوسط. وتساعد المجموعات الضابطة على فصل ذلك عن آثار العلاج.
الإجابة
D · الانحدار نحو المتوسط
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 11,88
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 192/6 = 32
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 1² + 15² + 8² + 4² + (−12)² + (−16)² = 706
الانحراف المعياري
s = √(706/5) = 11,88
الإجابة
s = 11,88
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9332
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
الإجابة
P = 0,9332
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,1429
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429
الإجابة
P = 0,1429
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2001
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 4) = 210·0,34·0,76 = 210·0,0081·0,1176 = 0,2001
الإجابة
P = 0,2001
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 2,15
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,9684)/2 = 0,9842
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9842 داخل الجدول واقرأ z.
z = 2,15
الإجابة
z = 2,15
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9706
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
الإجابة
P = 0,9706
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 69,76
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 8, t = 3,355
هامش الخطأ
E = 3,355·10,5/√9 = 11,74
الفترة
81,5 ± 11,74 → [69,76, 93,24]
الإجابة
الحد الأدنى = 69,76
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 956
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·24/2)² = 955,6
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 956
الإجابة
n = 956
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,9
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
إحصائية الاختبار
t = (505,8 − 500)/2 = 2,9
الإجابة
t = 2,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: β = 25,02 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 500 − 2,326·2,5 = 494,2
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (494,2 − 492,5)/2,5 = 0,674
الخطأ من النوع الثاني
القوة = P(Z < 0.674) = 74.98%
β = 100% − 74,98% = 25,02%
الإجابة
β = 25,02%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,8341
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 132/5 = 26,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −8
Syy = Σ(y − ȳ)² = 9,2
معامل الارتباط
r = −8/√(10·9,2) = −0,8341
الإجابة
r = −0,8341
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 38,75
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 265/5 = 53
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285
خط الانحدار
b = 285/90 = 3,167
a = 53 − 3,167·20 = −10,33
ŷ = −10,33 + 3,167·x
التنبؤ
ŷ = −10,33 + 3,167·15,5 = 38,75
الإجابة
ŷ = 38,75
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 9,431
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 37·26/102 = 9,431
الإجابة
E = 9,431
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 8
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 = 8
الإجابة
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology