مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

ما نوع البيانات التي يجمعها سؤال مفتوح في المقابلة؟

Aبيانات نسبية
Bبيانات فترية
Cبيانات نوعية
Dبيانات كمية اسمية فقط

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تذكر دراسة t(28) = 2,50، p = .018 لمجموعتين مستقلتين متساويتين في الحجم. كم مشاركًا شارك؟

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 30, 49, 32, 27, 25.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 80.

μ = 70σ = 8x = 80

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,1, 0,3, 0,35

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,15 و€50 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€20: p = 0,15€50: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 242,25 و 255 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,25x₂ = 255

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 20% منها (المئين 20).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 82,5 وانحرافها المعياري s = 16,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 6x̄ = 82,5s = 16,590%t(5) = 2,015

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,03 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0399%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 10 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −3,19 والانحراف المعياري للفروق 7,2. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = −3,19s_d = 7,2

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 497,5. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 497,5σ = 12n = 10095%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3, 11). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(3, 11)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1402 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 5 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · بيانات نوعية

لماذا هذه هي الإجابة

تنتج الأسئلة المفتوحة بيانات نوعية غنية يصعب تحليلها إحصائيًا مقارنة بإجابات الأسئلة المغلقة.

الإجابة

C · بيانات نوعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · 30

لماذا هذه هي الإجابة

درجات الحرية 28 تعني 28 + 2 = 30 مشاركًا، 15 في كل مجموعة.

الإجابة

A · 30

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 9,555

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 163/5 = 32,6

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−2,6)² + 16,4² + (−0,6)² + (−5,6)² + (−7,6)² = 365,2

الانحراف المعياري

s = √(365,2/4) = 9,555

الإجابة

s = 9,555

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (80 − 70)/8 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 11,78

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,25 + 20·0,1 + 30·0,3 + 40·0,35 = 27,5

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,1 + 900·0,3 + 1600·0,35 = 895

التباين

Var(X) = 895 − 27,5² = 138,8

σ = √138,8 = 11,78

الإجابة

σ = 11,78

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,5 €

النتائج الصافية

G: 15 (p = 0,15), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

القيمة المتوقعة

E(G) = 15·0,15 + 45·0,05 − 5·0,8 = 0,5 €

الإجابة

E(G) = 0,5 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7808

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808

الإجابة

P = 0,7808

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 87,38 درجة

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

العودة إلى x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 درجة

الإجابة

x = 87,38 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 68,93

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 2,015

هامش الخطأ

E = 2,015·16,5/√6 = 13,57

الفترة

82,5 ± 13,57 → [68,93, 96,07]

الإجابة

الحد الأدنى = 68,93

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

قرّب إلى الأعلى

n = 1844

الإجابة

n = 1844

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,401

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 7,2/√10 = 2,277

إحصائية الاختبار

t = −3,19/2,277 = −1,401

الإجابة

t = −1,401

مع df = 9، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,262؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 495,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·12/√100 = 2,352

حد الفترة

L = 497,5 − 2,352 = 495,1

الإجابة

L = 495,1

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,8946

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 109/6 = 18,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 182,8

معامل التحديد

r² = −53,5²/(17,5·182,8) = 0,8946

الإجابة

r² = 0,8946

نحو 89,46% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,714

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 72/6 = 12

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100

خط الانحدار

b = 100/70 = 1,429

a = 12 − 1,429·7 = 2

ŷ = 2 + 1,429·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 2 + 1,429·3 = 6,286

البُواقي

e = 11 − 6,286 = 4,714

الإجابة

e = 4,714

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 9,061

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18

الموظفون: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45

إحصاءة مربع كاي

χ² = (4 − 6)²/6 + (10 − 16)²/16 + (26 − 18)²/18 + (17 − 15)²/15 + (46 − 40)²/40 + (37 − 45)²/45

χ² = 9,061

الإجابة

χ² = 9,061

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 3

درجات الحرية

df = 5 − 1 − 1 = 3

الإجابة

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology