مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يُقلَّل تحيّز المجرِّب بأكثر الطرق مباشرة عن طريق:

Aالاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات
Bاستخدام عينة أكبر
Cالاقتصار على المتطوعين
Dاستخدام فرضية أحادية الطرف

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يستخدم باحث استبيانًا ومقابلات وملاحظة لدراسة ضغط العمل، وتتفق النتائج. ماذا يُسمّى هذا النهج؟

Aالتطبيق الطبقي
Bالموازنة
Cالتثليث
Dإعادة التجربة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 50, 25, 43, 12, 46, 33, 45.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 100. ما نسبة P القيم الأكبر من 700؟

μ = 500σ = 100x = 700

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,2, 0,1

σ =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2Y = 0,5X + 4

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 16 منها 1312 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1312 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 60 هاتفًا، المتوسط 53 h، الانحراف المعياري المعلوم 5 h. الطراز 2: 100 هاتفًا، المتوسط 60 h، الانحراف المعياري المعلوم 6 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 53 hσ₁ = 5 hn₂ = 100x̄₂ = 60 hσ₂ = 6 h95%

E = h

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,7 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,03 على الأكثر؟

p ≈ 0,7E = 0,0390%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 198,6 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,6s = 10n = 100

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 42 من 120 مريضًا على العلاج A، و 96 من 200 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 96n₂ = 200

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

لماذا هذه هي الإجابة

قد يؤثر المجرّبون الذين يعرفون الفرضية دون قصد في المشاركين أو في التسجيلات، وتقلل الإجراءات أحادية التعمية أو مزدوجة التعمية والتعليمات المعيارية ذلك.

الإجابة

A · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · التثليث

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم التثليث طرقًا أو مصادر أو باحثين متعددين، ويزيد الاتفاق بينها الثقة في صدق النتائج.

الإجابة

C · التثليث

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,73

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 254/7 = 36,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 13,71² + (−11,29)² + 6,714² + (−24,29)² + 9,714² + (−3,286)² + 8,714² = 1131

الانحراف المعياري

s = √(1131/6) = 13,73

الإجابة

s = 13,73

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,02275

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,26

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,2 + 5·0,1 = 2,75

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,2 + 25·0,1 = 9,15

التباين

Var(X) = 9,15 − 2,75² = 1,588

σ = √1,588 = 1,26

الإجابة

σ = 1,26

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,4867

تشتت X

μ = 2,55, Var(X) = 0,9475, σ_X = 0,9734

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·0,9734 = 0,4867

الإجابة

σ_Y = 0,4867

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·2,55 + 4 = 5,275.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (1312 − 1360)/48 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 533,7 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

الإجابة

x = 533,66 h

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 1,727 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 53 − 60 = −7

الخطأ المعياري

SE = √(5²/60 + 6²/100) = 0,8813

هامش الخطأ

E = 1,96·0,8813 = 1,727

الإجابة

E = 1,727 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 632

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,7·0,3/0,03² = 631,4

قرّب إلى الأعلى

n = 632

الإجابة

n = 632

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,4

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

إحصائية الاختبار

t = (198,6 − 200)/1 = −1,4

الإجابة

t = −1,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,273

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 42/120 = 0,35

p̂₂ = 96/200 = 0,48

p̂ = 138/320 = 0,4313

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,4313·0,5687·(1/120 + 1/200)) = 0,05719

إحصائية الاختبار

z = (0,35 − 0,48)/0,05719 = −2,273

الإجابة

z = −2,273

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9855

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 159/6 = 26,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 987,5

معامل التحديد

r² = 261²/(70·987,5) = 0,9855

الإجابة

r² = 0,9855

نحو 98,55% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 75,49

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 492/6 = 82

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

خط الانحدار

b = 114/17,5 = 6,514

a = 82 − 6,514·4,5 = 52,69

ŷ = 52,69 + 6,514·x

التنبؤ

ŷ = 52,69 + 6,514·3,5 = 75,49

الإجابة

ŷ = 75,49

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,389

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 60·20/100 = 12, 60·30/100 = 18, 60·50/100 = 30

ريفي: 40·20/100 = 8, 40·30/100 = 12, 40·50/100 = 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (14 − 12)²/12 + (23 − 18)²/18 + (23 − 30)²/30 + (6 − 8)²/8 + (7 − 12)²/12 + (27 − 20)²/20

χ² = 8,389

الإجابة

χ² = 8,389

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 24,22

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 32, 8

المصنع B: 80, 20

المصنع C: 80, 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (27 − 32)²/32 + (13 − 8)²/8 + (95 − 80)²/80 + (5 − 20)²/20 + (70 − 80)²/80 + (30 − 20)²/20

χ² = 24,22

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

24,22 > 5,991

الإجابة

χ² = 24,22

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology