الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في ارتباط ما، r = 0,40. ما نسبة التباين في أحد المتغيرين المشتركة مع الآخر؟
- A60%
- B16%
- C4%
- D40%
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يجد مقياس للتقرير الذاتي أن الأشخاص الذين يوافقون على عبارات كثيرة يحصلون على درجات مرتفعة أيًّا كان المحتوى. أي تحيّز في الاستجابة هذا، وكيف يمكن تقليله؟
- Aتحيّز المرغوبية الاجتماعية؛ باستخدام عينة أكبر
- Bتحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة
- Cآثار الترتيب؛ بموازنة المشاركين
- Dخصائص الطلب؛ باستخدام تصميم مزدوج التعمية
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 27, 42, 52, 44, 30, 44, 17.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 32.
μ = 50σ = 12x = 32
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
8 / 8
P =
6.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 12 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,2، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 12p = 0,2k = 3
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,3182. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,3182
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 25% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 21 مفردة متوسطها 39,5 وانحرافها المعياري s = 12. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.
n = 21x̄ = 39,5s = 1295%t(20) = 2,086
الحد الأعلى =
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 25 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 4,6 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 24، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 12,401 و 2,5% فوق 39,364.
n = 25s = 4,6 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 6 طالبًا، متوسط الدرجة 78,5، الانحراف المعياري 10. المجموعة 2: 20 طالبًا، متوسط الدرجة 83,2، الانحراف المعياري 3. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).
n₁ = 6x̄₁ = 78,5s₁ = 10n₂ = 20x̄₂ = 83,2s₂ = 3
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 36 قياسًا متوسطها 51,7. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 51,7σ = 20n = 3699%
L =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 5
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 28). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 28)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، كبير».
مجموع الصف = 64مجموع العمود = 60N = 144
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 5 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · 16%
لماذا هذه هي الإجابة
معامل التحديد هو r²، وهنا 0,40² = 0,16، أي أن 16% من التباين مشترك.
الإجابة
B · 16%
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · تحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة
لماذا هذه هي الإجابة
الإذعان ميل إلى الموافقة على البنود، والمزج بين بنود مصاغة إيجابيًا وسلبيًا يعني أن الموافقة على كل شيء لا تعود تنتج درجة متطرفة.
الإجابة
B · تحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,22
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 256/7 = 36,57
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−9,571)² + 5,429² + 15,43² + 7,429² + (−6,571)² + 7,429² + (−19,57)² = 895,7
الانحراف المعياري
s = √(895,7/6) = 12,22
الإجابة
s = 12,22
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −1,5
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (32 − 50)/12 = −1,5
الإجابة
z = −1,5
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2333
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333
الإجابة
P = 0,2333
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2362
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 3) = 220·0,23·0,89 = 220·0,008·0,1342 = 0,2362
الإجابة
P = 0,2362
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 0,41
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,3182)/2 = 0,6591
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,6591 داخل الجدول واقرأ z.
z = 0,41
الإجابة
z = 0,41
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 253,4 g
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,75
z من الجدول
z ≈ 0,67
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
الإجابة
x = 253,4 g
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 44,96
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 20, t = 2,086
هامش الخطأ
E = 2,086·12/√21 = 5,462
الفترة
39,5 ± 5,462 → [34,04, 44,96]
الإجابة
الحد الأعلى = 44,96
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 6,399 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 24·4,6² = 507,8
حدّا σ²
507,8/39,364 = 12,9
507,8/12,401 = 40,95
حدّ σ
σ = √40,95 = 6,399 µm
الإجابة
σ = 6,399 µm
فترة 95% لـ σ: [3,592, 6,399] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,91
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
التباين المجمَّع
sp² = (5·10² + 19·3²)/24 = 27,96
sp = 5,288
الخطأ المعياري
SE = 5,288·√(1/6 + 1/20) = 2,461
إحصائية الاختبار
t = (78,5 − 83,2)/2,461 = −1,91
الإجابة
t = −1,91
مع df = 24، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,064؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 43,11
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 2,576·20/√36 = 8,587
حد الفترة
L = 51,7 − 8,587 = 43,11
الإجابة
L = 43,11
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9721
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 333/5 = 66,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1659
معامل التحديد
r² = 381²/(90·1659) = 0,9721
الإجابة
r² = 0,9721
نحو 97,21% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 5
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
خط الانحدار
b = −20/10 = −2
a = 20 − (−2)·3 = 26
ŷ = 26 − 2·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 26 + (−2)·1,5 = 23
البُواقي
e = 28 − 23 = 5
الإجابة
e = 5
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 26,67
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 64·60/144 = 26,67
الإجابة
E = 26,67
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 7,815
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 5 − 1 − 1 = 3
الجدول
χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815
الإجابة
χ²crit = 7,815
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology