الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في تصميم القياسات المتكررة يمكن ضبط تأثيرات الترتيب عن طريق:
- Aعيّنة أكبر فقط
- Bالموازنة (counterbalancing)
- Cإجراءات التعمية الأحادية
- Dالمعاينة العشوائية
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يسجل ملاحِظان الأفعال العدوانية في ملعب، ويبلغ الارتباط بين عدّيهما r = 0,45. ماذا يجب أن يفعل الباحث؟
- Aقبول البيانات لأن أي ارتباط موجب يكفي
- Bاستخدام العدّ الأعلى من العدّين فقط
- Cتنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
- Dالتحول إلى فرضية أحادية الطرف
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 38, 29, 48, 25, 42.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 60؟
μ = 70σ = 10x = 60
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,2, 0,1, 0,35
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,25 و€50 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €5€20: p = 0,25€50: p = 0,05
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 246 و 255,25 g؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 250σ = 5x1 = 246x2 = 255,25
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 30 مفردة متوسطها 50,5 وانحرافها المعياري s = 13,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.
n = 30x̄ = 50,5s = 13,590%t(29) = 1,699
E =
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 5 قطعة، متوسط المحصول 87 kg، الانحراف المعياري 3 kg. مجموعة القطع 2: 21 قطعة، المتوسط 80,5 kg، الانحراف المعياري 10 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 87s₁ = 3n₂ = 21x̄₂ = 80,5s₂ = 1099%t(24) = 2,797
E = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 500؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 6. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 501,18. اختبر H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ > 500. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 500σ = 6n = 36x̄ = 501,18H₁: μ > μ₀
p =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 36 قياسًا متوسطها 70,3. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 70,3σ = 10n = 3699%
U =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 26؟
n = 6ŷ = 26
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1402 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.
N = 2403 × 2α = 0,01
χ² =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · الموازنة (counterbalancing)
لماذا هذه هي الإجابة
توزّع الموازنة تأثيرات التمرّن والتعب بالتساوي على الشروط.
الإجابة
B · الموازنة (counterbalancing)
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
لماذا هذه هي الإجابة
يعني الثبات المنخفض بين الملاحِظين أن الفئات تُطبَّق بعدم اتساق. ويجب أن ترفع التعريفات الإجرائية الأوضح وجلسات التدريب الاتفاقَ قبل جمع البيانات الرئيسي.
الإجابة
C · تنقيح فئات السلوك وتدريب الملاحِظين، ثم إعادة فحص الاتفاق
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 9,397
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 182/5 = 36,4
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 1,6² + (−7,4)² + 11,6² + (−11,4)² + 5,6² = 353,2
الانحراف المعياري
s = √(353,2/4) = 9,397
الإجابة
s = 9,397
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,8413
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
الإجابة
P = 0,8413
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 2,728
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,1 + 5·0,35 = 3,15
متوسط المربعات
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,1 + 25·0,35 = 12,65
التباين
Var(X) = 12,65 − 3,15² = 2,728
الإجابة
Var(X) = 2,728
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 2,5 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 15 (p = 0,25), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)
القيمة المتوقعة
E(G) = 15·0,25 + 45·0,05 − 5·0,7 = 2,5 €
الإجابة
E(G) = 2,5 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,6413
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8
z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,05) − Φ(−0,8) = 0,8531 − 0,2119 = 0,6413
الإجابة
P = 0,6413
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 75,33 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
العودة إلى x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 درجة
الإجابة
x = 75,33 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 4,188
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 29, t = 1,699
هامش الخطأ
E = 1,699·13,5/√30 = 4,188
الإجابة
E = 4,188
10.فترات الثقة
الإجابة: E = 12,82 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (4·3² + 20·10²)/24 = 84,83
sp = 9,211
هامش الخطأ
E = 2,797·9,211·√(1/5 + 1/21) = 12,82
الإجابة
E = 12,82 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,119
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (501,18 − 500)/1 = 1,18
مساحة الذيل
Φ(1,18) = 0,8810
1 − Φ(1,18) = 0,1190
القيمة الاحتمالية
p = 0,119
الإجابة
p = 0,119
p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 74,59
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 2,576·10/√36 = 4,293
حد الفترة
U = 70,3 + 4,293 = 74,59
الإجابة
U = 74,59
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9745
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 668/6 = 111,3
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 428
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2685
معامل التحديد
r² = 428²/(70·2685) = 0,9745
الإجابة
r² = 0,9745
نحو 97,45% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 1,421
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 125/6 = 20,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43,5
خط الانحدار
b = −43,5/17,5 = −2,486
a = 20,83 − (−2,486)·3,5 = 29,53
ŷ = 29,53 − 2,486·x
حلّ لإيجاد x
x = (26 − 29,53)/(−2,486) = 1,421
الإجابة
x = 1,421
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 18,32
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الطلاب: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40
الموظفون: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16
إحصاءة مربع كاي
χ² = (39 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (30 − 40)²/40 + (3 − 12)²/12 + (11 − 12)²/12 + (26 − 16)²/16
χ² = 18,32
الإجابة
χ² = 18,32
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 29,29
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المصنع A: 60, 40
المصنع B: 36, 24
المصنع C: 48, 32
إحصاءة مربع كاي
χ² = (45 − 60)²/60 + (55 − 40)²/40 + (32 − 36)²/36 + (28 − 24)²/24 + (67 − 48)²/48 + (13 − 32)²/32
χ² = 29,29
القرار
df = 2, χ²crit = 9,210
29,29 > 9,210
الإجابة
χ² = 29,29
χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology