الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في التجربة الميدانية، يقوم الباحث بـ:
- Aتحليل بيانات جمعها آخرون
- Bالملاحظة فقط دون التلاعب بأي شيء
- Cالتلاعب بالمتغير المستقل في مختبر
- Dالتلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يجد مقياس للتقرير الذاتي أن الأشخاص الذين يوافقون على عبارات كثيرة يحصلون على درجات مرتفعة أيًّا كان المحتوى. أي تحيّز في الاستجابة هذا، وكيف يمكن تقليله؟
- Aتحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة
- Bتحيّز المرغوبية الاجتماعية؛ باستخدام عينة أكبر
- Cخصائص الطلب؛ باستخدام تصميم مزدوج التعمية
- Dآثار الترتيب؛ بموازنة المشاركين
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 53, 32, 12, 56.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 112؟
μ = 100σ = 12x = 112
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 4 كرات حمراء و7 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
4 / 7
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 8 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,6. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 8p = 0,6
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 6 منها عن 73 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 73 kg
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 50 هاتفًا، المتوسط 144,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 13 h. الطراز 2: 100 هاتفًا، المتوسط 148 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 144,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 148 hσ₂ = 16 h99%
E = h
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 30 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 9 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 29، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 16,047 و 2,5% فوق 45,722.
n = 30s = 9 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 121,2 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121,2s = 5n = 100
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 2,5 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 7. أوجد أصغر حجم عينة n.
α = 0,05القوة = 80%δ = 2,5σ = 7zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 33Σy = 414Σx² = 199Σy² = 29284Σxy = 2388
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (2,5, 61). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 61)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، منخفض».
مجموع الصف = 60مجموع العمود = 37N = 110
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 4 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
لماذا هذه هي الإجابة
تزيد التجارب الميدانية، مثل مواقف المساعدة المدبّرة في الشارع، الصدقَ البيئي لكنها تمنح تحكمًا أقل في المتغيرات الدخيلة وتثير مسائل تتعلق بالموافقة.
الإجابة
D · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · تحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة
لماذا هذه هي الإجابة
الإذعان ميل إلى الموافقة على البنود، والمزج بين بنود مصاغة إيجابيًا وسلبيًا يعني أن الموافقة على كل شيء لا تعود تنتج درجة متطرفة.
الإجابة
A · تحيّز الإذعان (القبول)؛ بتضمين بنود معكوسة الصياغة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 17,81
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 188/5 = 37,6
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−2,6)² + 15,4² + (−5,6)² + (−25,6)² + 18,4² = 1269
الانحراف المعياري
s = √(1269/4) = 17,81
الإجابة
s = 17,81
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1587
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
الإجابة
P = 0,1587
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,1091
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
الإجابة
P = 0,1091
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,00852
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,48 = 0,0006554
P(X = 1) = 8·0,6·0,47 = 0,007864
اجمعها
P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852
الإجابة
P = 0,00852
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,695
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع الكلي
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (73 − 72)/1,96 = 0,51
الاحتمال
P = Φ(0,51) = 0,695
الإجابة
P = 0,695
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7389
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
الاحتمال
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
الإجابة
P = 0,7389
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 6,278 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 144,5 − 148 = −3,5
الخطأ المعياري
SE = √(13²/50 + 16²/100) = 2,437
هامش الخطأ
E = 2,576·2,437 = 6,278
الإجابة
E = 6,278 h
الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 12,1 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 29·9² = 2349
حدّا σ²
2349/45,722 = 51,38
2349/16,047 = 146,4
حدّ σ
σ = √146,4 = 12,1 µm
الإجابة
σ = 12,1 µm
فترة 95% لـ σ: [7,168, 12,1] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,4
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5
إحصائية الاختبار
t = (121,2 − 120)/0,5 = 2,4
الإجابة
t = 2,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 49
حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = ((1,645 + 0,842)·7/2,5)² = 48,49
قرّب إلى الأعلى
n = 49
الإجابة
n = 49
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9902
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 2388 − 33·414/6 = 111
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 29284 − 414²/6 = 718
معامل الارتباط
r = 111/√(17,5·718) = 0,9902
الإجابة
r = 0,9902
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 5
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 316/5 = 63,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48
خط الانحدار
b = 48/10 = 4,8
a = 63,2 − 4,8·4 = 44
ŷ = 44 + 4,8·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 44 + 4,8·2,5 = 56
البُواقي
e = 61 − 56 = 5
الإجابة
e = 5
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 20,18
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 60·37/110 = 20,18
الإجابة
E = 20,18
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 21,67
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
الجدول
χ²crit(df = 9, α = 0,01) = 21,666
الإجابة
χ²crit = 21,666
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology