مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

ما نوع البيانات التي يجمعها سؤال مفتوح في المقابلة؟

Aبيانات كمية اسمية فقط
Bبيانات نسبية
Cبيانات فترية
Dبيانات نوعية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة أن أثر الضغط النفسي في المرض أضعف لدى من لديهم دعم اجتماعي قوي. يعمل الدعم الاجتماعي هنا بوصفه:

Aمتغيرًا معدِّلًا (moderator)
Bمتغيرًا مُربِكًا
Cمتغيرًا وسيطًا (mediator)
Dمتغيرًا تابعًا

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 58, 21, 14, 51, 47.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 52.

μ = 70σ = 12x = 52

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,1, 0,3, 0,15

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €3 للمشاركة. تربح €15 باحتمال 0,3 و€30 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €3€15: p = 0,3€30: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 244 و 252,75 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 252,75

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 مفردة متوسطها 104,5 وانحرافها المعياري s = 12,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 25x̄ = 104,5s = 12,590%t(24) = 1,711

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 6 قطعة، متوسط المحصول 36,5 kg، الانحراف المعياري 4,5 kg. مجموعة القطع 2: 10 قطعة، المتوسط 39 kg، الانحراف المعياري 1 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 36,5s₁ = 4,5n₂ = 10x̄₂ = 39s₂ = 195%t(14) = 2,145

الحد الأعلى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 502,4 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,4s = 8n = 16

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 22. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 95%δ = 5σ = 22z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 48Σy = 484Σx² = 454Σy² = 41354Σxy = 4270

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 61؟

n = 6ŷ = 61

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 802 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 3

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · بيانات نوعية

لماذا هذه هي الإجابة

تنتج الأسئلة المفتوحة بيانات نوعية غنية يصعب تحليلها إحصائيًا مقارنة بإجابات الأسئلة المغلقة.

الإجابة

D · بيانات نوعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

لماذا هذه هي الإجابة

يغيّر المتغير المعدِّل قوة العلاقة بين متغيرين أو اتجاهها، أما المتغير الوسيط فيفسر الآلية التي يؤثر بها أحد المتغيرين في الآخر.

الإجابة

A · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 19,46

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 191/5 = 38,2

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 19,8² + (−17,2)² + (−24,2)² + 12,8² + 8,8² = 1515

الانحراف المعياري

s = √(1515/4) = 19,46

الإجابة

s = 19,46

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (52 − 70)/12 = −1,5

الإجابة

z = −1,5

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,8

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,15 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,15 = 2

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,15 = 5,8

التباين

Var(X) = 5,8 − 2² = 1,8

الإجابة

Var(X) = 1,8

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 2,1 €

النتائج الصافية

G: 12 (p = 0,3), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)

القيمة المتوقعة

E(G) = 12·0,3 + 27·0,02 − 3·0,68 = 2,1 €

الإجابة

E(G) = 2,1 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,5938

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,55) − Φ(−1,2) = 0,7088 − 0,1151 = 0,5938

الإجابة

P = 0,5938

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9452

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

الإجابة

P = 0,9452

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 100,2

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 24, t = 1,711

هامش الخطأ

E = 1,711·12,5/√25 = 4,277

الفترة

104,5 ± 4,277 → [100,2, 108,8]

الإجابة

الحد الأدنى = 100,2

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 0,6084 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (5·4,5² + 9·1²)/14 = 7,875

s_p = 2,806

هامش الخطأ

E = 2,145·2,806·√(1/6 + 1/10) = 3,108

الفترة

−2,5 ± 3,108 → [−5,608, 0,6084]

الإجابة

الحد الأعلى = 0,6084 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,2

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

إحصائية الاختبار

t = (502,4 − 500)/2 = 1,2

الإجابة

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 306

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,645)·22/5)² = 305,3

قرّب إلى الأعلى

n = 306

الإجابة

n = 306

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9895

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 4270 − 48·484/6 = 398

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 41354 − 484²/6 = 2311

معامل الارتباط

r = 398/√(70·2311) = 0,9895

الإجابة

r = 0,9895

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 20,93

المتوسطات

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 403/6 = 67,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209

خط الانحدار

b = 209/70 = 2,986

a = 67,17 − 2,986·23 = −1,505

ŷ = −1,505 + 2,986·x

حلّ لإيجاد x

x = (61 − (−1,505))/2,986 = 20,93

الإجابة

x = 20,93

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 23,81

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الرجال: 40·56/80 = 28, 40·24/80 = 12

النساء: 40·56/80 = 28, 40·24/80 = 12

إحصاءة مربع كاي

χ² = (18 − 28)²/28 + (22 − 12)²/12 + (38 − 28)²/28 + (2 − 12)²/12

χ² = 23,81

الإجابة

χ² = 23,81

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 2

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

الإجابة

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology