مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي إحصاء مناسب للعلاقة بين مجموعتين من الرتب، مثل ترتيب الحكام للوحات؟

Aاختبار t المستقل
Bكاي تربيع
Cمعامل سبيرمان (rho)
Dمعامل بيرسون (r)

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة على 10 مشاركين أثرًا كبيرًا لكنه غير دال. ما الاستنتاج الأنسب؟

Aلا بد أن حجم الأثر حُسب خطأً
Bلا بد أن الأثر خطأ من النوع الأول
Cربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة
Dالدراسة تثبت أن الفرضية الصفرية صحيحة، لأن الأثر لم يكن دالًا

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 14, 10, 29, 50, 59, 55.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 104.

μ = 100σ = 10x = 104

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,4. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,4

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 100 و 112,75 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 100x₂ = 112,75

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 20% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة20%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 11 مفردة متوسطها 56,5 وانحرافها المعياري s = 14,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.

n = 11x̄ = 56,5s = 14,599%t(10) = 3,169

E =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 11. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 11E = 1,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 48,53 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,53s = 4n = 36

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 22. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 80%δ = 4σ = 22z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (19, 98). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(19, 98)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، مرتفع».

مجموع الصف = 53مجموع العمود = 31N = 119

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 3 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · معامل سبيرمان (rho)

لماذا هذه هي الإجابة

يقيس ارتباط سبيرمان للرتب قوة العلاقة الرتيبة بين متغيرين مرتبين أو رتبيين.

الإجابة

C · معامل سبيرمان (rho)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · ربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة

لماذا هذه هي الإجابة

مع العينات الصغيرة كثيرًا ما تفشل حتى الآثار الحقيقية في بلوغ الدلالة (خطأ من النوع الثاني). وينبغي للباحثين الإبلاغ عن حجم الأثر وفترة الثقة وإعادة الدراسة بعينة أكبر.

الإجابة

C · ربما افتقرت الدراسة إلى القوة الإحصائية، فالنتيجة غير حاسمة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 21,42

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 217/6 = 36,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−22,17)² + (−26,17)² + (−7,167)² + 13,83² + 22,83² + 18,83² = 2295

الانحراف المعياري

s = √(2295/5) = 21,42

الإجابة

s = 21,42

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (104 − 100)/10 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,36

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,25 = 2,2

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,25 = 6,2

التباين

Var(X) = 6,2 − 2,2² = 1,36

الإجابة

Var(X) = 1,36

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,07054

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

اجمعها

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

الإجابة

P = 0,07054

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3023

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (100 − 100)/15 = 0

z₂ = (112,75 − 100)/15 = 0,85

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,85) − Φ(0) = 0,8023 − 0,5 = 0,3023

الإجابة

P = 0,3023

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 56,6 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,2

z من الجدول

z ≈ −0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 درجة

الإجابة

x = 56,6 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 13,85

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 3,169

هامش الخطأ

E = 3,169·14,5/√11 = 13,85

الإجابة

E = 13,85

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 207

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·11/1,5)² = 206,6

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 207

الإجابة

n = 207

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,205

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

إحصائية الاختبار

t = (48,53 − 50)/0,6667 = −2,205

الإجابة

t = −2,205

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 304

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 0,842)·22/4)² = 303,6

قرّب إلى الأعلى

n = 304

الإجابة

n = 304

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9992

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 394/5 = 78,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1719

معامل الارتباط

r = 262/√(40·1719) = 0,9992

الإجابة

r = 0,9992

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 1,55

المتوسطات

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 564/5 = 112,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

خط الانحدار

b = 218/40 = 5,45

a = 112,8 − 5,45·22 = −7,1

ŷ = −7,1 + 5,45·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −7,1 + 5,45·19 = 96,45

البُواقي

e = 98 − 96,45 = 1,55

الإجابة

e = 1,55

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 13,81

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 53·31/119 = 13,81

الإجابة

E = 13,81

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 5,991

درجات الحرية

df = 3 − 1 = 2

الجدول

χ²_crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

الإجابة

χ²_crit = 5,991

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology