مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يتضمن ثبات التجزئة النصفية:

Aتقسيم العينة إلى مجموعة تجريبية ومجموعة ضابطة ومقارنة درجاتهما
Bاستخدام ملاحظَين لنصف الجلسات لكل منهما
Cمقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي
Dاختبار نصفي العينة في أوقات مختلفة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يريد باحث أن يُظهر أن مقياسًا جديدًا للقلق يقيس شيئًا مختلفًا عن الاكتئاب. الارتباطات المنخفضة مع مقياس للاكتئاب تدعم:

Aالصدق الظاهري
Bالصدق التنبؤي
Cالصدق التمييزي
Dالصدق التقاربي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 40, 12, 14, 10, 50, 44.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأقل من 185؟

μ = 170σ = 10x = 185

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 8 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 8

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 20. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15Y = 2X + 20

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. ما النسبة التي تقع بين 500 و 508 h؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 508

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 10 مفردة متوسطها 61 وانحرافها المعياري s = 6. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 10x̄ = 61s = 699%t(9) = 3,25

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 7. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟

σ = 7E = 190%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 120؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 6. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 121,76. اختبر H₀: μ = 120 مقابل H₁: μ > 120. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 120σ = 6n = 36x̄ = 121,76H₁: μ > μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 88 من 250 مريضًا على العلاج A، و 75 من 150 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 75n₂ = 150

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (5,5, 70). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 70)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 4 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 4

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كان النصفان يقيسان البنية نفسها فيجب أن ترتبط الدرجات عليهما ارتباطًا مرتفعًا. ويوسّع معامل ألفا كرونباخ هذه الفكرة إلى جميع التجزئات الممكنة.

الإجابة

C · مقارنة الدرجات على نصفي الاختبار نفسه للتحقق من الاتساق الداخلي

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · الصدق التمييزي

لماذا هذه هي الإجابة

يظهر الصدق التمييزي (التباعدي) عندما يرتبط القياس ارتباطًا ضعيفًا بمقاييس بنى مختلفة، أما الصدق التقاربي فهو الارتباط المرتفع بمقاييس البنية نفسها.

الإجابة

C · الصدق التمييزي

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,22

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 170/6 = 28,33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 11,67² + (−16,33)² + (−14,33)² + (−18,33)² + 21,67² + 15,67² = 1659

الانحراف المعياري

s = √(1659/5) = 18,22

الإجابة

s = 18,22

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,7674

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

الإجابة

P = 0,7674

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 2,107

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 2,3, Var(X) = 1,11, σ_X = 1,054

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·1,054 = 2,107

الإجابة

σ_Y = 2,107

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·2,3 + 20 = 24,6.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,07926

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,2) − Φ(0) = 0,5793 − 0,5 = 0,07926

الإجابة

P = 0,07926

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 54,83

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 3,25

هامش الخطأ

E = 3,25·6/√10 = 6,166

الفترة

61 ± 6,166 → [54,83, 67,17]

الإجابة

الحد الأدنى = 54,83

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 133

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·7/1)² = 132,6

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 133

الإجابة

n = 133

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,0392

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (121,76 − 120)/1 = 1,76

مساحة الذيل

Φ(1,76) = 0,9608

1 − Φ(1,76) = 0,0392

القيمة الاحتمالية

p = 0,0392

الإجابة

p = 0,0392

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,916

نسبتا العينتين

p̂₁ = 88/250 = 0,352

p̂₂ = 75/150 = 0,5

p̂ = 163/400 = 0,4075

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,4075·0,5925·(1/250 + 1/150)) = 0,05075

إحصائية الاختبار

z = (0,352 − 0,5)/0,05075 = −2,916

الإجابة

z = −2,916

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9932

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 340/5 = 68

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1364

معامل الارتباط

r = 232/√(40·1364) = 0,9932

الإجابة

r = 0,9932

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 2,186

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 375/6 = 62,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46,5

خط الانحدار

b = 46,5/17,5 = 2,657

a = 62,5 − 2,657·3,5 = 53,2

ŷ = 53,2 + 2,657·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 53,2 + 2,657·5,5 = 67,81

البُواقي

e = 70 − 67,81 = 2,186

الإجابة

e = 2,186

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,338

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 120·50/200 = 30, 120·70/200 = 42, 120·80/200 = 48

المناوبة الليلية: 80·50/200 = 20, 80·70/200 = 28, 80·80/200 = 32

إحصاءة مربع كاي

χ² = (31 − 30)²/30 + (46 − 42)²/42 + (43 − 48)²/48 + (19 − 20)²/20 + (24 − 28)²/28 + (37 − 32)²/32

χ² = 2,338

الإجابة

χ² = 2,338

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 2

درجات الحرية

df = 4 − 1 − 1 = 2

الإجابة

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology