مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يشير الصدق البيئي إلى:

Aما إذا كان الاختبار يتنبأ بالسلوك المستقبلي
Bمدى قابلية تعميم النتائج على مواقف الحياة الواقعية
Cما إذا كان الاختبار يبدو أنه يقيس الشيء الصحيح
Dمدى اتساق الاختبار عبر الزمن

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يريد باحث أن يُظهر أن مقياسًا جديدًا للقلق يقيس شيئًا مختلفًا عن الاكتئاب. الارتباطات المنخفضة مع مقياس للاكتئاب تدعم:

Aالصدق التنبؤي
Bالصدق التقاربي
Cالصدق الظاهري
Dالصدق التمييزي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 14, 39, 31, 58, 44, 17, 17.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 147,5.

μ = 170σ = 15x = 147,5

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 6 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

6 / 4

P =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,25 و€20 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€10: p = 0,25€20: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9803. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9803

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 80% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 21 مفردة متوسطها 98,5 وانحرافها المعياري s = 6,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 21x̄ = 98,5s = 6,590%t(20) = 1,725

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,025 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,02595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 16 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 4,28 والانحراف المعياري للفروق 10,7. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 4,28s_d = 10,7

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 14. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 95%δ = 5σ = 14z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 36Σy = 336Σx² = 286Σy² = 19538Σxy = 2230

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 10.

n = 5x = 10

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، مرتفع».

مجموع الصف = 37مجموع العمود = 36N = 109

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 8 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · مدى قابلية تعميم النتائج على مواقف الحياة الواقعية

لماذا هذه هي الإجابة

يتعلق الصدق البيئي بما إذا كانت النتائج تنطبق على المواقف اليومية، وكثيرًا ما تكون الدراسات المخبرية شديدة الضبط منخفضة فيه.

الإجابة

B · مدى قابلية تعميم النتائج على مواقف الحياة الواقعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الصدق التمييزي

لماذا هذه هي الإجابة

يظهر الصدق التمييزي (التباعدي) عندما يرتبط القياس ارتباطًا ضعيفًا بمقاييس بنى مختلفة، أما الصدق التقاربي فهو الارتباط المرتفع بمقاييس البنية نفسها.

الإجابة

D · الصدق التمييزي

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,54

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 220/7 = 31,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−17,43)² + 7,571² + (−0,4286)² + 26,57² + 12,57² + (−14,43)² + (−14,43)² = 1642

الانحراف المعياري

s = √(1642/6) = 16,54

الإجابة

s = 16,54

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (147,5 − 170)/15 = −1,5

الإجابة

z = −1,5

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3333

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333

الإجابة

P = 0,3333

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,9 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 8 (p = 0,25), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)

القيمة المتوقعة

E(G) = 8·0,25 + 18·0,02 − 2·0,73 = 0,9 €

الإجابة

E(G) = 0,9 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −2,06

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9803 = 0,0197

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0197 داخل الجدول واقرأ z.

z = −2,06

الإجابة

z = −2,06

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 172,1 cm

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,2

z من الجدول

z ≈ −0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

الإجابة

x = 172,1 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 100,9

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 20, t = 1,725

هامش الخطأ

E = 1,725·6,5/√21 = 2,447

الفترة

98,5 ± 2,447 → [96,05, 100,9]

الإجابة

الحد الأعلى = 100,9

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

قرّب إلى الأعلى

n = 1537

الإجابة

n = 1537

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,6

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 10,7/√16 = 2,675

إحصائية الاختبار

t = 4,28/2,675 = 1,6

الإجابة

t = 1,6

مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 124

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,645)·14/5)² = 123,6

قرّب إلى الأعلى

n = 124

الإجابة

n = 124

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9519

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 2230 − 36·336/6 = 214

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 19538 − 336²/6 = 722

معامل الارتباط

r = 214/√(70·722) = 0,9519

الإجابة

r = 0,9519

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 97,85

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 424/5 = 84,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

خط الانحدار

b = 174/40 = 4,35

a = 84,8 − 4,35·7 = 54,35

ŷ = 54,35 + 4,35·x

التنبؤ

ŷ = 54,35 + 4,35·10 = 97,85

الإجابة

ŷ = 97,85

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 12,22

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 37·36/109 = 12,22

الإجابة

E = 12,22

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 14,07

درجات الحرية

df = 8 − 1 = 7

الجدول

χ²_crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

الإجابة

χ²_crit = 14,067

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology