مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تعني قيمة p تساوي 0,03 أنه:

Aبالنظر إلى البيانات الملاحَظة، فاحتمال صحة الفرضية الصفرية 3% فقط
Bالتأثير كبير
Cلو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
Dستتكرر النتيجة في 97% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في النظرية المجذّرة (grounded theory) يستمر جمع البيانات حتى:

Aمقابلة 1,000 مشارك على الأقل
Bالحصول على قيمة p أقل من 0,05
Cتأكيد الفرضية الأصلية
Dبلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 29, 31, 30, 53, 30, 46, 28.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 162.

μ = 170σ = 8x = 162

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و9 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

5 / 9

P =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €30 باحتمال 0,1 و€100 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €10€30: p = 0,1€100: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 30,8 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30,8 min

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 مفردة متوسطها 32,5 وانحرافها المعياري s = 6,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 16x̄ = 32,5s = 6,595%t(15) = 2,131

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 11. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟

σ = 11E = 2,590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 15. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 75,45. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ ≠ 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 80σ = 15n = 36x̄ = 75,45H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 125 من 250 مريضًا على العلاج A، و 28 من 80 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 28n₂ = 80

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 20؟

n = 5ŷ = 20

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1402 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

قيمة p هي احتمال الحصول على نتائج متطرفة بقدر النتائج الملاحظة أو أكثر لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ولا تعطي احتمال صحة فرضية ولا حجم التأثير.

الإجابة

C · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

لماذا هذه هي الإجابة

تطوّر النظرية المجذّرة النظرية استقرائيًا، فتجمع البيانات وترمّزها معًا، وتتوقف عن المعاينة عندما لا تعود البيانات الجديدة تطوّر الفئات.

الإجابة

D · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 9,962

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 247/7 = 35,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−6,286)² + (−4,286)² + (−5,286)² + 17,71² + (−5,286)² + 10,71² + (−7,286)² = 595,4

الانحراف المعياري

s = √(595,4/6) = 9,962

الإجابة

s = 9,962

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (162 − 170)/8 = −1

الإجابة

z = −1

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1099

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099

الإجابة

P = 0,1099

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −5 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 20 (p = 0,1), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,88)

القيمة المتوقعة

E(G) = 20·0,1 + 90·0,02 − 10·0,88 = −5 €

الإجابة

E(G) = −5 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6844

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

الإجابة

P = 0,6844

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 169 cm

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

العودة إلى x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

الإجابة

x = 169,03 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 29,04

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 15, t = 2,131

هامش الخطأ

E = 2,131·6,5/√16 = 3,463

الفترة

32,5 ± 3,463 → [29,04, 35,96]

الإجابة

الحد الأدنى = 29,04

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 53

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·11/2,5)² = 52,39

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 53

الإجابة

n = 53

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,06876

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5

z = (75,45 − 80)/2,5 = −1,82

مساحة الذيل

Φ(1,82) = 0,9656

1 − Φ(1,82) = 0,0344

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0344 = 0,06876

الإجابة

p = 0,06876

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,342

نسبتا العينتين

p̂₁ = 125/250 = 0,5

p̂₂ = 28/80 = 0,35

p̂ = 153/330 = 0,4636

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,4636·0,5364·(1/250 + 1/80)) = 0,06406

إحصائية الاختبار

z = (0,5 − 0,35)/0,06406 = 2,342

الإجابة

z = 2,342

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9764

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 360/5 = 72

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 514

معامل الارتباط

r = 140/√(40·514) = 0,9764

الإجابة

r = 0,9764

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,474

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 95/5 = 19

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

خط الانحدار

b = −19/10 = −1,9

a = 19 − (−1,9)·3 = 24,7

ŷ = 24,7 − 1,9·x

حلّ لإيجاد x

x = (20 − 24,7)/(−1,9) = 2,474

الإجابة

x = 2,474

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,544

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 40·28/140 = 8, 40·63/140 = 18, 40·49/140 = 14

المناوبة الليلية: 100·28/140 = 20, 100·63/140 = 45, 100·49/140 = 35

إحصاءة مربع كاي

χ² = (6 − 8)²/8 + (23 − 18)²/18 + (11 − 14)²/14 + (22 − 20)²/20 + (40 − 45)²/45 + (38 − 35)²/35

χ² = 3,544

الإجابة

χ² = 3,544

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,04

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 40, 40

خط الإنتاج 2: 50, 50

خط الإنتاج 3: 30, 30

إحصاءة مربع كاي

χ² = (50 − 40)²/40 + (30 − 40)²/40 + (46 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50 + (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30

χ² = 8,04

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

8,04 > 5,991

الإجابة

χ² = 8,04

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology