الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
اختبار سهل إلى درجة أن معظم المشاركين يحصلون على درجات قريبة من الحد الأقصى. يُسمّى ذلك:
- Aأثر الأرضية
- Bأثر الممارسة
- Cأثر السقف
- Dأثر الترتيب
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يُجري باحث خمسة اختبارات t ويريد إبقاء معدل الخطأ الكلي من النوع الأول عند 0,05 باستخدام تصحيح بونفيروني. ما مستوى الدلالة الذي يجب استخدامه لكل اختبار؟
- A0,05
- B0,025
- C0,25
- D0,01
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 42, 47, 58, 11, 14, 56.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 56؟
μ = 50σ = 15x = 56
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 2 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 2
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 11 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,1. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 11p = 0,1
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 762,3 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 30% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 7 مفردة متوسطها 35 وانحرافها المعياري s = 7. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.
n = 7x̄ = 35s = 790%t(6) = 1,943
E =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 18. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 4 على الأكثر؟
σ = 18E = 490%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يجري 10 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 7,02 والانحراف المعياري للفروق 6. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 7,02sd = 6
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 52 من 80 مريضًا على العلاج A، و 177 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 177n₂ = 300
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (7,5, 91). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(7,5, 91)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 10 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · أثر السقف
لماذا هذه هي الإجابة
تخفي آثار السقف الفروق بين الشروط لأن أحدًا لا يستطيع الحصول على درجة أعلى. أما آثار الأرضية فهي العكس، عندما تكون المهمة صعبة جدًا.
الإجابة
C · أثر السقف
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · 0,01
لماذا هذه هي الإجابة
يقسم تصحيح بونفيروني α على عدد المقارنات: 0,05 / 5 = 0,01. وهو بسيط لكنه متحفظ، مما يزيد خطر الأخطاء من النوع الثاني.
الإجابة
D · 0,01
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 20,62
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 228/6 = 38
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 4² + 9² + 20² + (−27)² + (−24)² + 18² = 2126
الانحراف المعياري
s = √(2126/5) = 20,62
الإجابة
s = 20,62
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,6554
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 0,4
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
الإجابة
P = 0,6554
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3056
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
الإجابة
P = 0,3056
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,6974
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,911 = 0,3138
P(X = 1) = 11·0,1·0,910 = 0,3835
اجمعها
P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974
الإجابة
P = 0,6974
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,1056
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25
الذيل العلوي
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
الإجابة
P = 0,1056
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 247,4 g
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,3
z من الجدول
z ≈ −0,52
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g
الإجابة
x = 247,4 g
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 5,141
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 6, t = 1,943
هامش الخطأ
E = 1,943·7/√7 = 5,141
الإجابة
E = 5,141
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 55
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·18/4)² = 54,8
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 55
الإجابة
n = 55
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 3,7
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
الخطأ المعياري لمتوسط الفروق
SE = 6/√10 = 1,897
إحصائية الاختبار
t = 7,02/1,897 = 3,7
الإجابة
t = 3,7
مع df = 9، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,262؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 0,9744
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 52/80 = 0,65
p̂₂ = 177/300 = 0,59
p̂ = 229/380 = 0,6026
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,6026·0,3974·(1/80 + 1/300)) = 0,06158
إحصائية الاختبار
z = (0,65 − 0,59)/0,06158 = 0,9744
الإجابة
z = 0,9744
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,9042
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 59,2
معامل الارتباط
r = −22/√(10·59,2) = −0,9042
الإجابة
r = −0,9042
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 4,795
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 449/6 = 74,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99,5
خط الانحدار
b = 99,5/17,5 = 5,686
a = 74,83 − 5,686·5,5 = 43,56
ŷ = 43,56 + 5,686·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 43,56 + 5,686·7,5 = 86,2
البُواقي
e = 91 − 86,2 = 4,795
الإجابة
e = 4,795
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 2,681
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المناوبة النهارية: 80·54/180 = 24, 80·54/180 = 24, 80·72/180 = 32
المناوبة الليلية: 100·54/180 = 30, 100·54/180 = 30, 100·72/180 = 40
إحصاءة مربع كاي
χ² = (25 − 24)²/24 + (28 − 24)²/24 + (27 − 32)²/32 + (29 − 30)²/30 + (26 − 30)²/30 + (45 − 40)²/40
χ² = 2,681
الإجابة
χ² = 2,681
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 16,92
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 10 − 1 = 9
الجدول
χ²crit(df = 9, α = 0,05) = 16,919
الإجابة
χ²crit = 16,919
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology