الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يتحقق خبراء مما إذا كانت بنود امتحان رياضيات تغطي جميع موضوعات المنهج. هذا يقيّم:
- Aالصدق التنبؤي
- Bصدق المحتوى
- Cالصدق البيئي
- Dثبات الاختبار وإعادة الاختبار
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يُجري باحث 20 تحليلًا على مجموعة بيانات ولا يذكر إلا التحليل الذي قيمته p < 0,05. تُسمّى هذه الممارسة:
- Aالموازنة
- Bالتسجيل المسبق
- Cالتلاعب بقيمة p (P-hacking)
- Dالتثليث
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 41, 60, 30, 33, 42, 28, 28.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 76.
μ = 100σ = 12x = 76
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25
σ =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 10. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35Y = 2X + 10
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 22,7 و 36,8 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 22,7x2 = 36,8
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 30 هاتفًا، المتوسط 67,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 13 h. الطراز 2: 100 هاتفًا، المتوسط 56 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 67,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 56 hσ₂ = 16 h95%
الحد الأعلى = h
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 33. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 2 على الأكثر؟
σ = 33E = 295%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 120,7 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,7s = 4n = 16
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 100 قياسًا متوسطها 196,6. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.
x̄ = 196,6σ = 15n = 10090%
U =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 59؟
n = 6ŷ = 59
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1802 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 7 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 7
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · صدق المحتوى
لماذا هذه هي الإجابة
صدق المحتوى هو مدى تغطية القياس لجميع الجوانب ذات الصلة من البنية، ويحكم عليه الخبراء عادةً.
الإجابة
B · صدق المحتوى
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · التلاعب بقيمة p (P-hacking)
لماذا هذه هي الإجابة
يستغل التلاعب بقيمة p مرونة التحليل للحصول على الدلالة، فيرفع معدل الإيجابيات الكاذبة كثيرًا فوق 5%، ويقلله التسجيل المسبق والإبلاغ الشفاف.
الإجابة
C · التلاعب بقيمة p (P-hacking)
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 11,52
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 262/7 = 37,43
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 3,571² + 22,57² + (−7,429)² + (−4,429)² + 4,571² + (−9,429)² + (−9,429)² = 795,7
الانحراف المعياري
s = √(795,7/6) = 11,52
الإجابة
s = 11,52
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (76 − 100)/12 = −2
الإجابة
z = −2
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,117
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,55
متوسط المربعات
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,75
التباين
Var(X) = 7,75 − 2,55² = 1,248
σ = √1,248 = 1,117
الإجابة
σ = 1,117
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 2,488
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1,45, Var(X) = 1,548, σX = 1,244
التغيير الخطي
σY = |2|·1,244 = 2,488
الإجابة
σY = 2,488
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·1,45 + 10 = 12,9.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7276
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55
z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,8) − Φ(−1,55) = 0,7881 − 0,06057 = 0,7276
الإجابة
P = 0,7276
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9207
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
الإجابة
P = 0,9207
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 17,11 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 67,5 − 56 = 11,5
الخطأ المعياري
SE = √(13²/30 + 16²/100) = 2,862
هامش الخطأ
E = 1,96·2,862 = 5,61
الفترة
11,5 ± 5,61 → [5,89, 17,11]
الإجابة
الحد الأعلى = 17,11 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 1046
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·33/2)² = 1046
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 1046
الإجابة
n = 1046
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 0,7
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
إحصائية الاختبار
t = (120,7 − 120)/1 = 0,7
الإجابة
t = 0,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 199,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,645·15/√100 = 2,468
حد الفترة
U = 196,6 + 2,468 = 199,1
الإجابة
U = 199,1
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9837
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 503/6 = 83,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1819
معامل الارتباط
r = 351/√(70·1819) = 0,9837
الإجابة
r = 0,9837
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 6,609
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 331/6 = 55,17
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60,5
خط الانحدار
b = 60,5/17,5 = 3,457
a = 55,17 − 3,457·5,5 = 36,15
ŷ = 36,15 + 3,457·x
حلّ لإيجاد x
x = (59 − 36,15)/3,457 = 6,609
الإجابة
x = 6,609
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 0,5083
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المناوبة النهارية: 120·36/180 = 24, 120·54/180 = 36, 120·90/180 = 60
المناوبة الليلية: 60·36/180 = 12, 60·54/180 = 18, 60·90/180 = 30
إحصاءة مربع كاي
χ² = (25 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36 + (61 − 60)²/60 + (11 − 12)²/12 + (20 − 18)²/18 + (29 − 30)²/30
χ² = 0,5083
الإجابة
χ² = 0,5083
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 5
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 7 − 1 − 1 = 5
الإجابة
df = 5
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology