مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

للحصول على عينة فيها نسب طلاب السنة الأولى والثانية والثالثة نفسها الموجودة في مجتمع الجامعة، يجب على الباحث استخدام:

Aمعاينة المتطوعين
Bمعاينة كرة الثلج
Cالمعاينة الطبقية
Dمعاينة الفرصة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يستخدم باحث استبيانًا ومقابلات وملاحظة لدراسة ضغط العمل، وتتفق النتائج. ماذا يُسمّى هذا النهج؟

Aإعادة التجربة
Bالتثليث
Cالتطبيق الطبقي
Dالموازنة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 20, 15, 58, 20, 15.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 84.

μ = 60σ = 12x = 84

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,25

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €4 باحتمال 0,25 و€10 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€4: p = 0,25€10: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 76,75 و 130 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 130

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 60% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 36 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 3,1. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 99% من البيانات نفسها؟

90%n₁ = 36E₁ = 3,199%

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 10 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 6,5 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 9، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 2,7 و 2,5% فوق 19,023.

n = 10s = 6,5 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 118,2 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 8n = 64

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 119,1. الانحراف المعياري للمجتمع 8. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 119,1σ = 8n = 8195%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 138Σy = 543Σx² = 3244Σy² = 50195Σxy = 12758

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 81؟

n = 6ŷ = 81

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1402 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · المعاينة الطبقية

لماذا هذه هي الإجابة

تحدد المعاينة الطبقية مجموعات فرعية (طبقات) وتسحب من كل منها عينة عشوائية تتناسب مع حجمها في المجتمع، فتصبح العينة أكثر تمثيلًا.

الإجابة

C · المعاينة الطبقية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · التثليث

لماذا هذه هي الإجابة

يستخدم التثليث طرقًا أو مصادر أو باحثين متعددين، ويزيد الاتفاق بينها الثقة في صدق النتائج.

الإجابة

B · التثليث

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,28

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 128/5 = 25,6

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−5,6)² + (−10,6)² + 32,4² + (−5,6)² + (−10,6)² = 1337

الانحراف المعياري

s = √(1337/4) = 18,28

الإجابة

s = 18,28

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (84 − 60)/12 = 2

الإجابة

z = 2

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,158

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,25 = 1,4

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,25 = 3,3

التباين

Var(X) = 3,3 − 1,4² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

الإجابة

σ = 1,158

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,5 €

النتائج الصافية

G: 3 (p = 0,25), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,7)

القيمة المتوقعة

E(G) = 3·0,25 + 9·0,05 − 1·0,7 = 0,5 €

الإجابة

E(G) = 0,5 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9167

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(2) − Φ(−1,55) = 0,9772 − 0,06057 = 0,9167

الإجابة

P = 0,9167

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 510 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,6

z من الجدول

z ≈ 0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 + 0,25·40 = 510 h

الإجابة

x = 510 h

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 4,854

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566

الهامش الجديد

E₂ = 3,1·1,566 = 4,854

الإجابة

E₂ = 4,854

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 11,87 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 9·6,5² = 380,3

حدّا σ²

380,3/19,023 = 19,99

380,3/2,7 = 140,8

حدّ σ

σ = √140,8 = 11,87 µm

الإجابة

σ = 11,87 µm

فترة 95% لـ σ: [4,471, 11,87] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,8

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

إحصائية الاختبار

t = (118,2 − 120)/1 = −1,8

الإجابة

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 117,4

هامش الخطأ

E = 1,96·8/√81 = 1,742

حد الفترة

L = 119,1 − 1,742 = 117,4

الإجابة

L = 117,4

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9906

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 12758 − 138·543/6 = 269

S_xx = 3244 − 138²/6 = 70

S_yy = 50195 − 543²/6 = 1054

معامل الارتباط

r = 269/√(70·1054) = 0,9906

الإجابة

r = 0,9906

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 7,271

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 477/6 = 79,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

خط الانحدار

b = 387/70 = 5,529

a = 79,5 − 5,529·7 = 40,8

ŷ = 40,8 + 5,529·x

حلّ لإيجاد x

x = (81 − 40,8)/5,529 = 7,271

الإجابة

x = 7,271

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 0,4861

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الرجال: 80·84/140 = 48, 80·56/140 = 32

النساء: 60·84/140 = 36, 60·56/140 = 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32 + (34 − 36)²/36 + (26 − 24)²/24

χ² = 0,4861

الإجابة

χ² = 0,4861

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 1,881

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 30, 70

العمر 31–50: 12, 28

العمر 51+: 30, 70

إحصاءة مربع كاي

χ² = (26 − 30)²/30 + (74 − 70)²/70 + (15 − 12)²/12 + (25 − 28)²/28 + (31 − 30)²/30 + (69 − 70)²/70

χ² = 1,881

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

1,881 < 9,210

الإجابة

χ² = 1,881

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology