الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
فترة الثقة 95% لمتوسط قدره 50 هي من 46 إلى 54. ما أدق تفسير؟
- Aهناك احتمال 95% أن يكون متوسط العينة 50
- Bالنتيجة غير دالة
- Cحصل 95% من المشاركين الأفراد في العينة على درجات بين 46 و54 في المقياس
- Dالإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يستقطب قسم لعلم النفس المشاركين من مقررات علم النفس التمهيدية فقط، فيقول المنتقدون إن العينات «WEIRD». إلامَ يشير ذلك؟
- Aعينات غريبة على نحو غير عادي في سلوكها
- Bعينات تنسحب مبكرًا من الدراسات
- Cعينات مستقطبة بطرق عشوائية مرجّحة
- Dعينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 49, 29, 50, 30, 18.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 67,2.
μ = 60σ = 12x = 67,2
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1
σ =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 20. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,35Y = −2X + 20
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,7287. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,7287
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 20 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −9,5 وانحرافها المعياري 1,6. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.
n = 20d̄ = −9,5sd = 1,690%t(19) = 1,729
الحد الأعلى = mmHg
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 99 kg، الانحراف المعياري 1,5 kg. مجموعة القطع 2: 5 قطعة، المتوسط 102 kg، الانحراف المعياري 8 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 99s₁ = 1,5n₂ = 5x̄₂ = 102s₂ = 890%t(14) = 1,761
E = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 210,5 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 210,5s = 20n = 16
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 130 من 200 مريضًا على العلاج A، و 44 من 80 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 44n₂ = 80
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 104؟
n = 6ŷ = 104
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2002 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 3 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
لماذا هذه هي الإجابة
تعطي فترة الثقة 95% مدى من القيم المعقولة لمعلمة المجتمع. والفترات الأضيق، الناتجة عن عينات أكبر، تعني تقديرات أدق.
الإجابة
D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · عينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها
لماذا هذه هي الإجابة
لاحظ Henrich وزملاؤه أن معظم المشاركين في علم النفس يأتون من مجتمعات WEIRD (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic)، وهي غير ممثِّلة للبشرية، مما يهدد صدق المجتمع.
الإجابة
D · عينات غربية ومتعلمة وصناعية وغنية وديمقراطية قد لا تُعمَّم نتائجها
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 13,88
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 176/5 = 35,2
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 13,8² + (−6,2)² + 14,8² + (−5,2)² + (−17,2)² = 770,8
الانحراف المعياري
s = √(770,8/4) = 13,88
الإجابة
s = 13,88
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 0,6
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (67,2 − 60)/12 = 0,6
الإجابة
z = 0,6
5.الاحتمال
الإجابة: σ = 0,9421
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,3 + 4·0,1 = 2,25
متوسط المربعات
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,3 + 16·0,1 = 5,95
التباين
Var(X) = 5,95 − 2,25² = 0,8875
σ = √0,8875 = 0,9421
الإجابة
σ = 0,9421
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 2,2
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1,7, Var(X) = 1,21, σX = 1,1
التغيير الخطي
σY = |−2|·1,1 = 2,2
الإجابة
σY = 2,2
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·1,7 + 20 = 16,6.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,1
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,7287)/2 = 0,8643
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,8643 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,10
الإجابة
z = 1,10
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 473 h
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
العودة إلى x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
الإجابة
x = 473,02 h
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = −8,881 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 19, t = 1,729
هامش الخطأ
E = 1,729·1,6/√20 = 0,6186
الفترة
−9,5 ± 0,6186 → [−10,12, −8,881]
الإجابة
الحد الأعلى = −8,881 mmHg
10.فترات الثقة
الإجابة: E = 4,236 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (10·1,5² + 4·8²)/14 = 19,89
sp = 4,46
هامش الخطأ
E = 1,761·4,46·√(1/11 + 1/5) = 4,236
الإجابة
E = 4,236 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
إحصائية الاختبار
t = (210,5 − 200)/5 = 2,1
الإجابة
t = 2,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 1,559
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 130/200 = 0,65
p̂₂ = 44/80 = 0,55
p̂ = 174/280 = 0,6214
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,6214·0,3786·(1/200 + 1/80)) = 0,06416
إحصائية الاختبار
z = (0,65 − 0,55)/0,06416 = 1,559
الإجابة
z = 1,559
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,9037
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 24
معامل الارتباط
r = −14/√(10·24) = −0,9037
الإجابة
r = −0,9037
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 21,93
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 567/6 = 94,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 345
خط الانحدار
b = 345/70 = 4,929
a = 94,5 − 4,929·20 = −4,071
ŷ = −4,071 + 4,929·x
حلّ لإيجاد x
x = (104 − (−4,071))/4,929 = 21,93
الإجابة
x = 21,93
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 2,02
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 100·90/200 = 45, 100·110/200 = 55
النساء: 100·90/200 = 45, 100·110/200 = 55
إحصاءة مربع كاي
χ² = (40 − 45)²/45 + (60 − 55)²/55 + (50 − 45)²/45 + (50 − 55)²/55
χ² = 2,02
الإجابة
χ² = 2,02
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 9,21
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
الجدول
χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210
الإجابة
χ²crit = 9,210
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology