يُلتَفّ بين النبضة x(t) = 2 لـ 0 ≤ t < 2 s والدالة h(t)، وهي مثلث يهبط خطيًا من 4 عند t = 0 إلى 0 عند t = 2 s. أوجد المساحة Ay تحت y(t) = x(t) ∗ h(t).
x(t) = 2, 0 ≤ t < 2 sh(0) = 4, h(2) = 0
Ay =
2.الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًاصعبة
يُطبَّق الدخل x(t) = 10·cos(1,5t) على نظام فيه h(t) = 5·e−2tu(t). أوجد طور φ الخرج في الحالة المستقرة بالنسبة إلى الدخل، بالدرجات.
h(t) = 5e−2tu(t)x(t) = 10cos(1,5t)
φ = °
3.تحويلات لابلاسمتوسطة
F(s) = (4s + 26)/(s² + 13s + 42). تحويله العكسي على الصورة f(t) = A·e−6t + B·e−7t. أوجد المعامل A بالكسور الجزئية.
F(s) = (4s + 26)/(s² + 13s + 42)
A =
4.تحويلات لابلاسصعبة
حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = −4 و y′(0) = −3 باستخدام تحويل لابلاس، وأوجد y(0,25).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = −4y′(0) = −3t = 0,25 s
y(0.25) =
5.الاستجابة الخطويةمتوسطة
لنظام دالة النقل G(s) = 15/(s² + 6s + 15) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. القطبان هما s = σ ± jωd. أوجد الجزء الحقيقي σ.
G(s) = 15/(s² + 6s + 15)
σ =
6.الاستجابة الخطويةصعبة
دائرة RLC على التسلسل فيها R = 13 Ω وL = 50 mH وC = 47 µF موصولة بخطوة جهد 24 V عند t = 0. المكثف غير مشحون ولا يمر تيار قبل الخطوة. أوجد زمن أول ذروة للجهد tp بوحدة ms.
R = 13 ΩL = 50 mHC = 47 µFV = 24 V
tp = ms
7.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
لـ مرشح RC لتمرير الترددات العالية الموضح R = 2,2 kΩ, C = 47 nF. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 770 Hz. أوجد إزاحة الطور φ للجهد vout بالنسبة إلى vin، بالدرجات.
الالتفاف المستمر: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. اقلب h وحرّكه إلى الموضع t ثم كامِل حاصل ضرب الجزأين المتراكبين. وللإشارات السببية يمتد التكامل من 0 إلى t. نتائج مفيدة: مساحة y تساوي مساحة x مضروبة في مساحة h؛ وإذا استمرت x من t₁ إلى t₂ وh من t₃ إلى t₄ فإن y تستمر من t₁ + t₃ إلى t₂ + t₄. وللدالة h(t) = e−atu(t) ولخطوة ارتفاعها A يكون y(t) = (A/a)(1 − e−at).
مساحتا الدخلين
∫x dt = 2·2 = 4
∫h dt = ½·2·4 = 4
مساحة الخرج
Ay = 4·4 = 16
الإجابة
Ay = 16
2.الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا
الإجابة: φ = −36,87 °
استجابة النبضة ومتسلسلة فورييه: تصف استجابة النبضة h(t) نظامًا خطيًا لا يتغير مع الزمن وصفًا كاملًا: ففي y′ + a·y = b·x تكون h(t) = b·e−atu(t)، وفي y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] تكون h[n] = b·aⁿu[n]. تمر الجيبية cos ωt بكسب |H(jω)| وطور ∠H(jω)، حيث H هو تحويل فورييه لـ h. الإشارة الدورية مجموع توافقيات عند k/T: فالموجة المربعة ±A لها توافقيات فردية فقط بسعات 4A/(kπ)، والموجة المثلثية ذات الذروة A لها 8A/(π²k²)، وقطار النبضات ذو الارتفاع A ودورة التشغيل D له المتوسط A·D والتوافقيات (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
الاستجابة الترددية
H(jω) = 5/(2 + jω)
الطور عند تردد الدخل
φ = −atan(1,5/2) = −36,87°
الإجابة
φ = −36,87°
3.تحويلات لابلاس
الإجابة: A = 2
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
حلّل المقام
s² + 13s + 42 = (s + 6)(s + 7)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 7)
قاعدة التغطية
اضرب في (s + 6) وضع s = −6: يختفي حدّ B.
A = (4s + 26)/(s + 7) |s = −6 = 2/1 = 2
الإجابة
A = 2
(B = 2، لذا f(t) = 2·e−6t + 2·e−7t)
4.تحويلات لابلاس
الإجابة: y(0.25) = −3,283
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
حوّل المعادلة
s²Y − (−4)s − (−3) + 8(sY − (−4)) + 15Y = 0
Y(s) = (−4s − 35)/((s + 3)(s + 5))
الكسور الجزئية
A = −23/2 = −11,5
B = −15/(−2) = 7,5
النتيجة
y(t) = −11,5·e−3t + 7,5·e−5t
y(0,25) = −3,283
الإجابة
y(0,25) = −3,283
تحقّق: y(0) = A + B = −4.
5.الاستجابة الخطوية
الإجابة: σ = −3
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
قارن مع الصيغة القياسية
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 15 → ωₙ = 3,873 rad/s
2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·3,873) = 0,7746
النتيجة
σ = −ζωₙ = −6/2 = −3
الإجابة
σ = −3
6.الاستجابة الخطوية
الإجابة: tp = 4,915 ms
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
تردد الركن
ωc = 1/(RC) = 1/(2200·4,7 × 10⁻⁸) = 9671 rad/s
fc = 1539 Hz → f/fc = 770/1539 = 0,5003
الطور
φ = 90° − atan(0,5003) = 63,42°
الإجابة
φ = 63,42°
8.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: GM = 8,028 dB
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.