حلّ y″ + 4y′ + 3y = 0 مع y(0) = 5 و y′(0) = 14 باستخدام تحويل لابلاس، وأوجد y(0,25).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 5y′(0) = 14t = 0,25 s
y(0.25) =
5.الاستجابة الخطويةمتوسطة
لنظام دالة النقل G(s) = 62/(s² + 11s + 62) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. أوجد زمن الذروة tp للاستجابة الخطوية.
G(s) = 62/(s² + 11s + 62)
tp = s
6.الاستجابة الخطويةصعبة
تُظهر الاستجابة الخطوية لنظام من الرتبة الثانية بلا أصفار تجاوزًا قدره 10 %، وتقع الذروة الأولى عند t = 0,8 s. أوجد التردد الطبيعي ωn.
%OS = 10 %tp = 0,8 s
ωn = rad/s
7.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
أوجد المقدار الدقيق |G(jω)| لـ G(s) = 660/((s + 4)(s + 15)) عند ω = 10 rad/s، بوحدة dB.
G(s) = 660/((s + 4)(s + 15))ω = 10 rad/s
|G(jω)| = dB
8.مخططات بودي والهوامشصعبة
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3)). أوجد الكسب K الذي يعطي هامش كسب قدره 3 dB.
L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3))GM = 3 dB
K =
3المحاليل
1.الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا
الإجابة: tend = 4 s
الالتفاف المستمر: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. اقلب h وحرّكه إلى الموضع t ثم كامِل حاصل ضرب الجزأين المتراكبين. وللإشارات السببية يمتد التكامل من 0 إلى t. نتائج مفيدة: مساحة y تساوي مساحة x مضروبة في مساحة h؛ وإذا استمرت x من t₁ إلى t₂ وh من t₃ إلى t₄ فإن y تستمر من t₁ + t₃ إلى t₂ + t₄. وللدالة h(t) = e−atu(t) ولخطوة ارتفاعها A يكون y(t) = (A/a)(1 − e−at).
البداية والنهاية
tstart = −1 + 0 = −1 s
tend = 2 + 2 = 4 s
الإجابة
tend = 4 s
الإجابة
tend = 4 s
2.الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا
الإجابة: c2 = 3,027
استجابة النبضة ومتسلسلة فورييه: تصف استجابة النبضة h(t) نظامًا خطيًا لا يتغير مع الزمن وصفًا كاملًا: ففي y′ + a·y = b·x تكون h(t) = b·e−atu(t)، وفي y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] تكون h[n] = b·aⁿu[n]. تمر الجيبية cos ωt بكسب |H(jω)| وطور ∠H(jω)، حيث H هو تحويل فورييه لـ h. الإشارة الدورية مجموع توافقيات عند k/T: فالموجة المربعة ±A لها توافقيات فردية فقط بسعات 4A/(kπ)، والموجة المثلثية ذات الذروة A لها 8A/(π²k²)، وقطار النبضات ذو الارتفاع A ودورة التشغيل D له المتوسط A·D والتوافقيات (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
دورة التشغيل
D = 4/20 = 0,2
سعة التوافقي
c2 = (2·10/(2π))·|sin(2π·0,2)| = 3,027
الإجابة
c2 = 3,027
3.تحويلات لابلاس
الإجابة: f(0.3) = 1,688
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
حوّل المعادلة
s²Y − 5s − 14 + 4(sY − 5) + 3Y = 0
Y(s) = (5s + 34)/((s + 1)(s + 3))
الكسور الجزئية
A = 29/2 = 14,5
B = 19/(−2) = −9,5
النتيجة
y(t) = 14,5·e−t − 9,5·e−3t
y(0,25) = 6,805
الإجابة
y(0,25) = 6,805
تحقّق: y(0) = A + B = 5.
5.الاستجابة الخطوية
الإجابة: tp = 0,5575 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.