الالتفاف المستمر: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. اقلب h وحرّكه إلى الموضع t ثم كامِل حاصل ضرب الجزأين المتراكبين. وللإشارات السببية يمتد التكامل من 0 إلى t. نتائج مفيدة: مساحة y تساوي مساحة x مضروبة في مساحة h؛ وإذا استمرت x من t₁ إلى t₂ وh من t₃ إلى t₄ فإن y تستمر من t₁ + t₃ إلى t₂ + t₄. وللدالة h(t) = e−atu(t) ولخطوة ارتفاعها A يكون y(t) = (A/a)(1 − e−at).
البداية والنهاية
tstart = 0 + 3 = 3 s
tend = 2 + 4 = 6 s
الإجابة
tend = 6 s
الإجابة
tend = 6 s
2.الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا
الإجابة: y[5] = 1,64
استجابة النبضة ومتسلسلة فورييه: تصف استجابة النبضة h(t) نظامًا خطيًا لا يتغير مع الزمن وصفًا كاملًا: ففي y′ + a·y = b·x تكون h(t) = b·e−atu(t)، وفي y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] تكون h[n] = b·aⁿu[n]. تمر الجيبية cos ωt بكسب |H(jω)| وطور ∠H(jω)، حيث H هو تحويل فورييه لـ h. الإشارة الدورية مجموع توافقيات عند k/T: فالموجة المربعة ±A لها توافقيات فردية فقط بسعات 4A/(kπ)، والموجة المثلثية ذات الذروة A لها 8A/(π²k²)، وقطار النبضات ذو الارتفاع A ودورة التشغيل D له المتوسط A·D والتوافقيات (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
كرّر الحساب
y[0] = 4
y[1] = 0,8
y[2] = 3,36
y[3] = 1,312
y[4] = 2,95
y[5] = 1,64
النتيجة
y[5] = 4·(1 − (−0,8)6)/(1 − (−0,8)) = 1,64
الإجابة
y[5] = 1,64
3.تحويلات لابلاس
الإجابة: f(0.5) = 1,999
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
حوّل المعادلة
(s² + 5s + 6)·Y(s) = 5s + 25 + 12/s
Y(s) = (5s² + 25s + 12)/(s(s + 2)(s + 3))
الكسور الجزئية
A = 12/(2·3) = 2
B = −18/((−2)·1) = 9
C = −18/((−3)·(−1)) = −6
النتيجة
y(t) = 2 + 9·e−2t − 6·e−3t
y(0,1) = 4,924
الإجابة
y(0,1) = 4,924
تحقّق: y(0) = A + B + C = 5.
5.الاستجابة الخطوية
الإجابة: ts = 1 s
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
قارن مع الصيغة القياسية
يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 98 → ωₙ = 9,899 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·9,899) = 0,4041
النتيجة
ζωₙ = 4 → ts ≈ 4/4 = 1 s
الإجابة
ts = 1 s
6.الاستجابة الخطوية
الإجابة: K = 2,1
الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).
دالة تحويل الحلقة المغلقة
T(s) = K/(s² + 2s + K)
نسبة التخميد من التجاوز
ζ = −ln(0,05)/√(π² + ln²(0,05)) = 0,6901
الكسب
ωₙ = 2/(2ζ) = 1,449 rad/s
K = ωₙ² = 2,1
الإجابة
K = 2,1
7.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: |H| = −6,762 dB
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
تردد الركن
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·2,2 × 10⁻⁸) = 45455 rad/s
fc = 7234 Hz → f/fc = 14000/7234 = 1,935
الكسب
|H| = 1/√(1 + 1,935²) = 0,4591
20·log₁₀(0,4591) = −6,762 dB
الإجابة
|H| = −6,762 dB
8.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: PM = 22,18 °
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.