الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (2, −5, −1) و b = (6, k, 0) متعامدين.

a = (2, −5, −1)b = (6, k, 0)

k =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(1, −3, 2) و B(−1, 3, −1) و C(−4, 4, 1). الإحداثيات بالمتر.

A(1, −3, 2)B(−1, 3, −1)C(−4, 4, 1)

A = m²

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mP₁ = 20 kN عند 4 mP₂ = 25 kN عند 6 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته 8 kN/m عند الجدار وينخفض إلى الصفر عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 3,5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 5 mw₀ = 8 kN/mP = 30 kN عند 3,5 m

M_A = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kNالحمل الأفقي = 10 kN ←

F_BC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 2,4 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,4 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 10 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 10 kNAB = 2,4 mارتفاع C = 2,4 mارتفاع DE = 0,8 m

C = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 8 m، والنقطة B على ارتفاع 4 m وعلى بُعد 3,6 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 15 kN عند K التي تبعد 2,7 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 3 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي A_x عند A.

P = 15 kNQ = 3 kNL = 8 mH = 4 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 3,6 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 2,7 m

A_x = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 5 kN/m من 0 إلى 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

10 kN @ 0 m60 kN @ 12 m15 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 50 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 80 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmالفتحة: 50 × 50 mmمركز الثقب: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = 2,4

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = 2·6 + (−5)·k + (−1)·0 = 0

12 + (−5)·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −12/(−5) = 2,4

الإجابة

k = 2,4

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 12,75 m²

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (−2, 6, −3)

AC = C − A = (−5, 7, −1)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 6·(−1) − (−3)·7 = 15

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·(−5) − (−2)·(−1) = 13

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−2)·7 − 6·(−5) = 16

|AB × AC| = √(15² + 13² + 16²) = 25,5

مساحة المثلث

A = ½·25,5 = 12,75 m²

الإجابة

A = 12,75 m²

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 23 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·4 + 25·6

R_B = 230/10 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 23 = 22 kN

الإجابة

R_B = 23 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 138,3 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 20·1,667 + 30·3,5 = 138,3 kN·m

الإجابة

M_A = 138,3 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −9,783 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·1 → C_y = 1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1,25 = 8,75 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8,75/0,8944 = −9,783 kN

الإجابة

F_AB = −9,783 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −16,5 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·2 − 10·4 → C_y = 11,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 11,67 = 43,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,67/0,7071 = −16,5 kN

الإجابة

F_BC = −16,5 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 6,25 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الرباط من الساق BC

B_y = 5 kN

T = 5·1,2/1,6 = 3,75 kN

مركّبتا قوة المسمار على BC

C_x = T = 3,75 kN, C_y = −B_y = −5 kN

المقدار

C = √(3,75² + 5²) = 6,25 kN

الإجابة

C = 6,25 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A_x = 4,219 kN

اتجاه BC

BC = 5,946 m, cos = 0,7399, sin = 0,6727

الإطار كاملًا: العزوم حول A

F_BC·0,6727·8 = 15·2,7 + 3·4

F_BC = 9,756 kN

الاتزان الأفقي

A_x + 3 − 9,756·0,7399 = 0

A_x = 4,219 kN → |A_x| = 4,219 kN

الإجابة

A_x = 4,219 kN

تتجه A_x نحو اليمين.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 12,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

اقطع عند x = 5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 15·5 − 5·5·2,5 = 12,5 kN·m

الإجابة

M_x = 12,5 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 19,33 kN, R₂ = 137,7 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −25,33, M_D = −108,7, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −240 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 10,97 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

الجذع: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·132,5 + 2400·60)/6400 = 105,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·25³/12 + 4000·(132,5 − 105,3)² = 3,165 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 20·120³/12 + 2400·(60 − 105,3)² = 7,808 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,165 × 10⁶ + 7,808 × 10⁶ = 1,097 × 10⁷ mm⁴ = 10,97 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 10,97 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 65 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (20000·100 − 2500·80)/(20000 − 2500) = 102,9 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·−2,857² = 66,83 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·50³/12 + 2500·−22,86² = 1,827 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 65 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 65 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics