الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد المسقط القياسي compb a لـ a = (−4, 1, 6) على b = (−2, −3, −5)، أي مركّبة a في اتجاه b.

a = (−4, 1, 6)b = (−2, −3, −5)
compb a =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzrFOA

تؤثّر قوة F = (−30, −10, 30) N عند النقطة A(−2, −3, 1). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة z Mz لعزم القوة حول النقطة O(2, 1, 0).

F = (−30, −10, 30) NA(−2, −3, 1) mO(2, 1, 0) m
Mz = N·m
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 70 kNP2​ = 40 kNABCRA​ = ?1 m4 m3 m

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 70 kN عند 1 mP2 = 40 kN عند 8 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
P = 70 kN, 45°Q = 50 kNABRA​ = ?1 m2,5 m0,5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 3,5 m من A، مائلًا بزاوية 45° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 1 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية RA عند المسمار A.

L = 4 mP = 70 kN عند 3,5 m, θ = 45°Q = 50 kN عند 1 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB50 kN8 m1 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 50 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB30 kN10 kN5 m4 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kNالحمل الأفقي = 10 kN →
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
2 kN3,2 m0,8 m1,7 m1,2 mABCDEK

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3,2 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 2,5 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 2 kN على الساق AC عند K التي تبعد 1,2 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 2 kNAB = 3,2 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 0,8 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,2 m
T = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
15 kN6 m1,8 m2,2 mABCDE

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 6 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 4 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 1,8 m. تؤثر قوة أفقية 15 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 15 kNAB = 6 mارتفاع C = 4 mارتفاع DE = 1,8 m
T = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 3 kN/mP = 25 kNABمقطع1 m1 m

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A. أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 1 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2 mP = 25 kN عند 2 mw = 3 kN/m من 0 إلى 2 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
10 kN/m50 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

50 kN @ 0 m20 kN @ 12 m10 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
100 mm150 mm105 mmØ40xIx​ = ?

لوح أبعاده 100 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
120 mm150 mm45 mm50 × 50xIx​ = ?

لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 50 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 45 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 150 mmالفتحة: 50 × 50 mmمركز الثقب: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: compb a = −4,056

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = (−4)·(−2) + 1·(−3) + 6·(−5) = −25

طول b

|b| = √((−2)² + (−3)² + (−5)²) = 6,164

المسقط القياسي

compb a = a·b/|b| = −25/6,164 = −4,056

الإجابة

compb a = −4,056

سالب: لـ a مركّبة تشير عكس b.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: Mz = −80 N·m

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

متّجه الموضع من O إلى A

r = A − O = (−2, −3, 1) − (2, 1, 0) = (−4, −4, 1) m

العزم M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = (−4)·30 − 1·(−10) = −110 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = 1·(−30) − (−4)·30 = 90 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = (−4)·(−10) − (−4)·(−30) = −80 N·m

المركّبة المطلوبة

Mz = −80 N·m

الإجابة

Mz = −80 N·m
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 32 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣMA = 0: RB·5 = 70·1 + 40·8
RB = 390/5 = 78 kN

الاتزان الرأسي

RA = 70 + 40 − 78 = 32 kN

الإجابة

RA = 32 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 66,02 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مركّبتا P

Pv = 70·sin 45° = 49,5 kN
Ph = 70·cos 45° = 49,5 kN

ردود الأفعال

ΣMA = 0: RB·4 = 49,5·3,5 + 50·1 → RB = 55,81 kN
Ay = 49,5 + 50 − 55,81 = 43,69 kN
Ax = Ph = 49,5 kN

المحصّلة عند A

RA = √(49,5² + 43,69²) = 66,02 kN

الإجابة

RA = 66,02 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 21,88 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·1 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 6,25 = 43,75 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,25/0,2747 = −22,75 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22,75)·0,9615 = 21,88 kN

الإجابة

FAC = 21,88 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 10 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB30 kN10 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·4 + 10·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 30 = 0 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,9487 = −31,62 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−31,62)·0,3162 = 10 kN

الإجابة

FAC = 10 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 0,7059 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

By = 2·1,2/3,2 = 0,75 kN

الساق BC: العزوم حول C

0,75·1,6 = T·1,7
T = 0,7059 kN

الإجابة

T = 0,7059 kN
8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 13,64 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

By·6 = 15·4
By = 10 kN

الساق BC: العزوم حول C

10·3 = T·2,2
T = 13,64 kN

الإجابة

T = 13,64 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = −26,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −25·1 = −25 kN·m
w: −3·1²/2 = −1,5 kN·m
Mx = −25 − 1,5 = −26,5 kN·m

الإجابة

Mx = −26,5 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 83,33 kN, R2 = 46,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −100 kN·m, MC = −53,33, MD = −46,67, ME = −80, MF = −40, MG = 0

الإجابة

علامة B: MB = −100 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 26,76 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (15000·75 − 1257·105)/(15000 − 1257) = 72,26 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·150³/12 + 15000·2,743² = 28,24 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·32,74² = 1,473 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 26,76 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 26,76 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 30,62 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (18000·75 − 2500·45)/(18000 − 2500) = 79,84 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·150³/12 + 18000·−4,839² = 34,17 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·50³/12 + 2500·−34,84² = 3,555 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 30,62 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 30,62 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics