الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (2, −4, −3) و b = (−5, 6, −4)، بالدرجات.

a = (2, −4, −3)b = (−5, 6, −4)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzab

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (2, 4, −1) و b = (−1, −5, −4) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته y n̂y.

a = (2, 4, −1)b = (−1, −5, −4)n̂z > 0
n̂y =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​2 m4 m4 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 10 mP1 = 15 kN عند 2 mP2 = 30 kN عند 6 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​1 m4 m3 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 8 mP = 10 kN عند 5 mw = 4 kN/m من 1 إلى 5 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB25 kN4 m3 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 25 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB40 kN30 kN4 m1 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kNالحمل الأفقي = 30 kN ←
FBC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
8 kN6 m2 m1,6 m0,75 mABCDEK

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 6 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3,6 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 2 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 8 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,75 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 8 kNAB = 6 mارتفاع C = 3,6 mارتفاع DE = 2 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,75 m
T = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
12 kN0,5 kN5 m2 mABC

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 0,5 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 2 m. يتدلى حمل 12 kN عند B. أوجد مقدار رد فعل المسمار A.

W = 12 kNWb = 0,5 kNAB = 5 mAC = 2 m
A = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
4 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
55 kN20 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

55 kN @ 0 m20 kN @ 6 m30 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
150 mm200 mm70 mmØ30xIx​ = ?

لوح أبعاده 150 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 70 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2003016016xM سالب (تحدّب)الأبعاد بالـ mm

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 60 MPa في الشد و 100 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 160 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 117,7 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 2·(−5) + (−4)·6 + (−3)·(−4) = −22

المقداران

|a| = √(2² + (−4)² + (−3)²) = 5,385
|b| = √((−5)² + 6² + (−4)²) = 8,775

الزاوية

cos θ = −22/(5,385·8,775) = −0,4656
θ = arccos(−0,4656) = 117,7°

الإجابة

θ = 117,7°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂y = −0,381

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)x = aybz − azby = 4·(−4) − (−1)·(−5) = −21
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·(−1) − 2·(−4) = 9
(a × b)z = axby − aybx = 2·(−5) − 4·(−1) = −6

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b سالبة، لذا استخدم −(a × b).

|a × b| = √((−21)² + 9² + (−6)²) = 23,62
n̂ = −(−21, 9, −6)/23,62 = (0,889, −0,381, 0,254)
n̂y = −0,381

الإجابة

n̂y = −0,381
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 24 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​2 m4 m4 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·10 = 15·2 + 30·6
RB = 210/10 = 21 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 21 = 24 kN

الإجابة

RA = 24 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 13,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​RB​1 m4 m3 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·5 + 4·4·3
RB = 98/8 = 12,25 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 12,25 = 13,75 kN

الإجابة

RA = 13,75 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 6,25 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18,75 = 6,25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,9487 = −19,76 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19,76)·0,3162 = 6,25 kN

الإجابة

FAC = 6,25 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FBC = 9,014 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB40 kN30 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 − 30·2 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − −5 = 45 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−5/0,5547 = 9,014 kN

الإجابة

FBC = 9,014 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 1,875 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

By = 8·0,75/6 = 1 kN

الساق BC: العزوم حول C

1·3 = T·1,6
T = 1,875 kN

الإجابة

T = 1,875 kN
8.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 30,63 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الشد في الكابل

T = (12 + 0,5/2)/0,3714 = 32,98 kN

المركّبتان عند A

Ax = T·cos β = 30,63 kN
Ay = 12 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

المقدار

A = √(30,63² + 0,25²) = 30,63 kN

الإجابة

A = 30,63 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 41,5 kN, R2 = 41,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 75, MC = 134, MD = 177 kN·m, ME = 134, MF = 75, MG = 0

الإجابة

علامة D: MD = 177 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 1 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 80 kN, R2 = 25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −55 kN·m, MC = −30, MD = −35, ME = −40, MF = −20, MG = 0

الإجابة

علامة B: MB = −55 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 99,31 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·100 − 706,9·70)/(30000 − 706,9) = 100,7 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,7239² = 100 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,72² = 0,707 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 99,31 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 99,31 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Mallow = 15,08 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (6000·175 + 2560·80)/8560 = 146,6 mm
الحافة العلوية: c = 190 − 146,6 = 43,41 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 200·30³/12 + 6000·28,41² + 16·160³/12 + 2560·66,59² = 2,211 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 60·2,211 × 10⁷/43,41 = 30,55 kN·m
الحافة السفلية: M = 100·2,211 × 10⁷/146,6 = 15,08 kN·m

القيمة الحاكمة

Mallow = min = 15,08 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

Mallow = 15,08 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics