الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (6, 1, 2) و b = (−5, 0, 5)، بالدرجات.

a = (6, 1, 2)b = (−5, 0, 5)

θ = °

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (5, 2, 4) و b = (−5, −4, −5) و c = (−4, −3, 0).

a = (5, 2, 4)b = (−5, −4, −5)c = (−4, −3, 0)

V =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 6 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 75 kN عند 3 mP₂ = 25 kN عند 8 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 10 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 6 m من A. أوجد ردّ الفعل R_D عند البكرة.

AC = 3 mAD = 10 mP = 60 kN عند 6 m

R_D = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kNالحمل الأفقي = 30 kN →

F_BC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 80 N عند A (على بُعد 150 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 150 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار F_O.

F = 80 NOA = 150 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.الإطارات والآلاتصعبة

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 0,5 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 2 m. يتدلى حمل 4 kN عند B. أوجد مقدار رد فعل المسمار A.

W = 4 kNW_b = 0,5 kNAB = 2,5 mAC = 2 m

A = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 3 mP = 80 kN عند 1,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 3 m

M_A = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 6 mP = 65 kN عند 2 mw = 12 kN/m من 0 إلى 6 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 15 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_الأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 116,2 °

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 6·(−5) + 1·0 + 2·5 = −20

المقداران

|a| = √(6² + 1² + 2²) = 6,403

|b| = √((−5)² + 0² + 5²) = 7,071

الزاوية

cos θ = −20/(6,403·7,071) = −0,4417

θ = arccos(−0,4417) = 116,2°

الإجابة

θ = 116,2°

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 39

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·0 − (−5)·(−3) = −15

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·(−4) − (−5)·0 = 20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·(−3) − (−4)·(−4) = −1

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = 5·(−15) + 2·20 + 4·(−1) = −39

V = |−39| = 39

الإجابة

V = 39

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 70,83 kN

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·3 + 25·8

R_B = 425/6 = 70,83 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 75 + 25 − 70,83 = 29,17 kN

الإجابة

R_B = 70,83 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_D = 25,71 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 60·3

R_D = 25,71 kN

V_C = 60 − 25,71 = 34,29 kN

الإجابة

R_D = 25,71 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −28,84 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·2 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 16 = 24 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16/0,5547 = −28,84 kN

الإجابة

F_BC = −28,84 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −25,16 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 + 30·2 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 22,5 = −12,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,8944 = −25,16 kN

الإجابة

F_BC = −25,16 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: F_O = 113,1 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 80·150/150 = 80 N

رد فعل المسمار

O_x = 80 N, O_y = 80 N

F_O = √(80² + 80²) = 113,1 N

الإجابة

F_O = 113,1 N

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 5,318 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الشد في الكابل

T = (4 + 0,5/2)/0,6247 = 6,803 kN

المركّبتان عند A

A_x = T·cos β = 5,313 kN

A_y = 4 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

المقدار

A = √(5,313² + 0,25²) = 5,318 kN

الإجابة

A = 5,318 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −165 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −80·1,5 = −120 kN·m

w: −10·3²/2 = −45 kN·m

M_A = −120 − 45 = −165 kN·m

الإجابة

M_A = −165 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 134,7 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·2 + 12·6·3

R_B = 346/6 = 57,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 137 − 57,67 = 79,33 kN

أين يكون V = 0؟

V(2⁻) = R_A − w·2 = 55,33 kN

V(2⁺) = 55,33 − 65 = −9,667 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 79,33·2 − 12·2²/2 = 134,7 kN·m

الإجابة

M_max = 134,7 kN·m

يقع عند x = 2 m من A.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 3,212 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

الجذع: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·107,5 + 1000·50)/3400 = 90,59 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·15³/12 + 2400·(107,5 − 90,59)² = 731419 mm⁴

الجذع: 10·100³/12 + 1000·(50 − 90,59)² = 2,481 × 10⁶ mm⁴

I_x = 731419 + 2,481 × 10⁶ = 3,212 × 10⁶ mm⁴ = 3,212 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 3,212 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 97,69 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

الجذع: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·175 + 2560·80)/9760 = 150,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 240·30³/12 + 7200·(175 − 150,1)² = 5,011 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 16·160³/12 + 2560·(80 − 150,1)² = 1,803 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,011 × 10⁶ + 1,803 × 10⁷ = 2,305 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 150,1 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·150,1/2,305 × 10⁷ = 97,69 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 97,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics