الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (5, −3, 5) و b = (−6, k, 1) متعامدين.

a = (5, −3, 5)b = (−6, k, 1)

k =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A متوازي الأضلاع المحدَّد بـ a = (−6, 5, −1) و b = (1, −1, 6).

a = (−6, 5, −1)b = (1, −1, 6)

A =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 6 m من A وازدواجًا عكس عقارب الساعة M على بعد 7 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 8 mP = 35 kN عند 6 mM = 30 kN·m (عكس عقارب الساعة) عند 7 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 4 mP = 45 kN عند 1 mw = 8 kN/m من 1 إلى 4 m

R_B = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 30 kN ↓C: 20 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 25° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 200 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.

F = 200 Nθ = 25°

Q = N

8.الإطارات والآلاتصعبة

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 6 m، والنقطة B على ارتفاع 2 m وعلى بُعد 0,9 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 15 kN عند K التي تبعد 0,36 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 5 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي A_x عند A.

P = 15 kNQ = 5 kNL = 6 mH = 2 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 0,9 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,36 m

A_x = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 3 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 3 mP = 60 kN عند 3 mw = 10 kN/m من 0 إلى 3 m

M_A = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 7 mw = 2 kN/m من 0 إلى 7 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 280 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 200 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 20 mm. أوجد ارتفاع المركز ȳ فوق الحافة السفلية.

b = 280 mmh = 200 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 140 mm وسُمكها 22 mm، وعمق كلي 280 mm، وجذع سُمكه 8 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 30 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 140 mmH = 280 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = −8,333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = 5·(−6) + (−3)·k + 5·1 = 0

−25 + (−3)·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −(−25)/(−3) = −8,333

الإجابة

k = −8,333

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 45,46

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·6 − (−1)·(−1) = 29

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·1 − (−6)·6 = 35

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·(−1) − 5·1 = 1

المساحة

A = |a × b| = √(29² + 35² + 1²) = 45,46

الإجابة

A = 45,46

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 22,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 35·6 + 30 = 0

R_B = 180/8 = 22,5 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 35 − 22,5 = 12,5 kN

الإجابة

R_B = 22,5 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 26,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 8·3·2,5

R_B = 105/4 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 26,25 = 42,75 kN

الإجابة

R_B = 26,25 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −20,12 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·4 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 36 = 9 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9/0,4472 = −20,12 kN

الإجابة

F_AB = −20,12 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 50 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 113,1 kN (C), HE: 42,43 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 14,14 kN (T), HC: 42,43 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

7.الإطارات والآلات

الإجابة: Q = 214,5 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

اتزان المسمار B

2·F_link·sin 25° = 200

F_link = 236,6 N

قوة الإطباق

Q = F_link·cos 25° = 200/(2·tan 25°) = 214,5 N

الإجابة

Q = 214,5 N

نسبة القوى Q/F = 1,072 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A_x = 1,545 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

اتجاه BC

BC = 5,478 m, cos = 0,931, sin = 0,3651

الإطار كاملًا: العزوم حول A

F_BC·0,3651·6 = 15·0,36 + 5·2

F_BC = 7,03 kN

الاتزان الأفقي

A_x + 5 − 7,03·0,931 = 0

A_x = 1,545 kN → |A_x| = 1,545 kN

الإجابة

A_x = 1,545 kN

تتجه A_x نحو اليمين.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −225 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −60·3 = −180 kN·m

w: −10·3²/2 = −45 kN·m

M_A = −180 − 45 = −225 kN·m

الإجابة

M_A = −225 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 4,41 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·7·3,5

R_B = 49/5 = 9,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 9,8 = 4,2 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 4,2/2 = 2,1 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 4,2²/(2·2) = 4,41 kN·m

الإجابة

M_max = 4,41 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: ȳ = 66,25 mm

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 280·20 = 5600 mm², y₁ = 10 mm

الساقان: A₂ = 2·20·180 = 7200 mm², y₂ = 20 + 180/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (5600·10 + 7200·110)/12800 = 66,25 mm

الإجابة

ȳ = 66,25 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 31,74 MPa

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 280 − 2·22 = 236 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·280³ − 132·236³)/12

I_x = 1,115 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 140 − 22 = 118 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·118/1,115 × 10⁸ = 31,74 MPa

الإجابة

σ_j = 31,74 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics