طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
تؤثّر قوة ثابتة F = (−15, −20, 10) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−1, −3, −3) إلى النقطة B(5, 1, −2). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.
F = (−15, −20, 10) NA(−1, −3, −3) mB(5, 1, −2) m
W = J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (−5, −4, −5) و b = (0, −3, −1) و c = (0, 2, −5).
a = (−5, −4, −5)b = (0, −3, −1)c = (0, 2, −5)
V =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.
L = 6 mP1 = 20 kN عند 2 mP2 = 55 kN عند 3,5 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.
L = 10 mP = 30 kN عند 4 mw = 5 kN/m من 3 إلى 5 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
C: 20 kN ↓D: 25 kN ↓G: 25 kN ↓
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 30 kN →
FAB = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 1,2 m. يتدلى حمل 4 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.
P = 4 kNAD = 1 mAB = 3 mAC = 1,2 m
A = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1,5 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من طرفها B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 1,5 m. يتدلى حمل 5 kN عند B. أوجد قوة الشد T في الكابل.
W = 5 kNWb = 1,5 kNAB = 4 mAC = 1,5 m
T = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
55 kN @ 4 m10 kN @ 8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 10 mP = 50 kN عند 2 mw = 5 kN/m من 0 إلى 10 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 144 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
مقطع I ملحوم له شفة علوية 200 × 14 mm، وجذع ارتفاعه 160 mm وسُمكه 16 mm، وشفة سفلية 240 × 14 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي Ix حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
الإزاحة
d = B − A = (5, 1, −2) − (−1, −3, −3) = (6, 4, 1) m
الشغل
W = F·d = (−15)·6 + (−20)·4 + 10·1 = −160 J
الإجابة
W = −160 J
شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: V = 85
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
الضرب الاتجاهي b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·(−5) − (−1)·2 = 17
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·0 − 0·(−5) = 0
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·2 − (−3)·0 = 0
الضرب القياسي مع a
a·(b × c) = (−5)·17 + (−4)·0 + (−5)·0 = −85
V = |−85| = 85
الإجابة
V = 85
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 38,75 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·6 = 20·2 + 55·3,5
RB = 232,5/6 = 38,75 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 38,75 = 36,25 kN
الإجابة
RB = 38,75 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 24 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 5·2·4
RB = 160/10 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 16 = 24 kN
الإجابة
RA = 24 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: العضو BF
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة B
يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·3 + 30·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 30 = −10 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
العقدة A
افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−10/0,7071 = 14,14 kN
الإجابة
FAB = 14,14 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات
الإجابة: A = 12,81 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
قوة الدعامة
FCD = 4·3/(0,7682·1) = 15,62 kN
المركّبتان عند A
Ax = FCD·cos α = 10 kN (نحو الجدار)
Ay = 4 − FCD·sin α = −8 kN
المقدار
A = √(10² + −8²) = 12,81 kN
الإجابة
A = 12,81 kN
القيمة السالبة لـ Ay تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.
8.الإطارات والآلات
الإجابة: T = 16,38 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
زاوية الكابل
BC = √(4² + 1,5²) = 4,272 m, sin β = 0,3511
العزوم حول A
T·0,3511·4 = 5·4 + 1,5·2
T = 16,38 kN
الإجابة
T = 16,38 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: C (x = 4 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 40 kN, R2 = 25 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 80, MC = 160 kN·m, MD = 130, ME = 100, MF = 50, MG = 0
الإجابة
علامة C: MC = 160 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 121,9 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·2 + 5·10·5
RB = 350/10 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 35 = 65 kN
اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (48000·120 − 1963·144)/(48000 − 1963) = 119 mm
اللوح الكامل حول ȳ
200·240³/12 + 48000·1,024² = 230,5 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·50⁴/64 + 1963·25,02² = 1,536 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 51,91 × 10⁶ mm⁴
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.