الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (5, 1, 3) و b = (6, −4, k) متعامدين.

a = (5, 1, 3)b = (6, −4, k)
k =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzab

للمتّجهين a = (5, −2, 6) و b = (0, 3, 2)، أوجد المركّبة x (a × b)x للضرب الاتجاهي a × b.

a = (5, −2, 6)b = (0, 3, 2)
(a × b)x =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 60 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m1,5 m1,5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 4 mP1 = 60 kN عند 1 mP2 = 20 kN عند 2,5 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w0​ = 10 kN/mP = 65 kNABMA​ = ?5 m3 m

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 10 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.

L = 8 mw0 = 10 kN/mP = 65 kN عند 5 m
MA = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH20 kN20 kN20 kN30 kN4 × 4 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 20 kN ↓D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH25 kN35 kN40 kN40 kN4 × 4 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
OAB100 NQ120 mm60 mmFO​ = ?

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 100 N عند A (على بُعد 120 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 60 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.

F = 100 NOA = 120 mmOB = 60 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
6 kN1,5 kN6 m3 mABC

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1,5 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من طرفها B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 3 m. يتدلى حمل 6 kN عند B. أوجد قوة الشد T في الكابل.

W = 6 kNWb = 1,5 kNAB = 6 mAC = 3 m
T = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 8 kN/mP = 40 kNABمقطع1,5 m0,5 m1 m

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A. أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 3 mP = 40 kN عند 2 mw = 8 kN/m من 0 إلى 3 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 8 kN/mP = 60 kNAB2 m4 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 6 mP = 60 kN عند 2 mw = 8 kN/m من 0 إلى 6 m
Mmax = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
1403801812xالأبعاد بالـ mm

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 140 mm وسُمكها 18 mm، وعمق كلي 380 mm، وجذع سُمكه 12 mm. أوجد معامل المقطع المرن Sx للانحناء حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 140 mmH = 380 mmtf = 18 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
230420226xM = 200 kN·mالأبعاد بالـ mm

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 230 mm وسُمكها 22 mm، وعمق كلي 420 mm، وجذع سُمكه 6 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 200 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σj عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 230 mmH = 420 mmtf = 22 mmtw = 6 mmM = 200 kN·m
σj = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = −8,667

الضرب القياسي: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = 5·6 + 1·(−4) + 3·k = 0
26 + 3·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −26/3 = −8,667

الإجابة

k = −8,667
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: (a × b)x = −22

الضرب الاتجاهي: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة

(a × b)x = aybz − azby = (−2)·2 − 6·3 = −22
(a × b)y = azbx − axbz = 6·0 − 5·2 = −10
(a × b)z = axby − aybx = 5·3 − (−2)·0 = 15

المركّبة المطلوبة

(a × b)x = −22

الإجابة

(a × b)x = −22

تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 52,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 60 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m1,5 m1,5 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·4 = 60·1 + 20·2,5
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 27,5 = 52,5 kN

الإجابة

RA = 52,5 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: MA = 538,3 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·8 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m

العزم حول الجدار

MA = W·x̄ + P·a = 40·5,333 + 65·5 = 538,3 kN·m

الإجابة

MA = 538,3 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 66,67 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 53,33 kN (T), FG: 66,67 kN (C), GH: 53,33 kN (C), AF: 83,33 kN (C), HE: 66,67 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), BG: 16,67 kN (C), DG: 33,33 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 53,33 kN (T), FG: 113,3 kN (C), GH: 113,3 kN (C), AF: 100 kN (C), HE: 66,67 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 41,67 kN (T), HC: 25 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
7.الإطارات والآلات

الإجابة: FO = 223,6 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 100·120/60 = 200 N

رد فعل المسمار

Ox = 200 N, Oy = 100 N
FO = √(200² + 100²) = 223,6 N

الإجابة

FO = 223,6 N
8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 15,09 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

زاوية الكابل

BC = √(6² + 3²) = 6,708 m, sin β = 0,4472

العزوم حول A

T·0,4472·6 = 6·6 + 1,5·3
T = 15,09 kN

الإجابة

T = 15,09 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = −29 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −40·0,5 = −20 kN·m
w: −8·1,5²/2 = −9 kN·m
Mx = −20 − 9 = −29 kN·m

الإجابة

Mx = −29 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 112 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 8·6·3
RB = 264/6 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 108 − 44 = 64 kN

أين يكون V = 0؟

V(2⁻) = RA − w·2 = 48 kN
V(2⁺) = 48 − 60 = −12 kN
يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 64·2 − 8·2²/2 = 112 kN·m

الإجابة

Mmax = 112 kN·m

يقع عند x = 2 m من A.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Sx = 1084 × 10³ mm³

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = Ic + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − tw) وارتفاعهما hw = H − 2tf، ويشتركان في المحور x.

hw = 380 − 2·18 = 344 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·380³ − 128·344³)/12
Ix = 2,06 × 10⁸ mm⁴

معامل المقطع

c = H/2 = 190 mm
Sx = I/c = 2,06 × 10⁸/190
Sx = 1,084 × 10⁶ mm³ = 1084 × 10³ mm³

الإجابة

Sx = 1084 × 10³ mm³
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σj = 87,9 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − tw) وارتفاعهما hw = H − 2tf، ويشتركان في المحور x.

hw = 420 − 2·22 = 376 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·420³ − 224·376³)/12
Ix = 4,277 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 210 − 22 = 188 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·188/4,277 × 10⁸ = 87,9 MPa

الإجابة

σj = 87,9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics