الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (5, −6, 6) و b = (−4, 3, −6)، بالدرجات.

a = (5, −6, 6)b = (−4, 3, −6)

θ = °

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (−1, −5, −5) و b = (2, −3, −4) و c = (−1, −5, −4).

a = (−1, −5, −5)b = (2, −3, −4)c = (−1, −5, −4)

V =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا يرتفع من الصفر عند A إلى 8 kN/m عند B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 8 mw₀ = 8 kN/m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 8 mP = 45 kN عند 3 mw = 8 kN/m من 5 إلى 8 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓C: 20 kN ↓D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kNالحمل الأفقي = 25 kN ←

F_BC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 8 m، والنقطة B على ارتفاع 3 m فوق الأرض وعلى بُعد 4,8 m إلى يمين A. يؤثر حمل رأسي 4 kN على العنصر AB عند K التي تبعد 1,2 m (أفقيًا) عن A. أوجد القوة F_BC في العنصر BC.

P = 4 kNL = 8 mH = 3 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 4,8 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,2 m

F_BC = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 0,5 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 3 m. يتدلى حمل 6 kN عند B. أوجد مقدار رد فعل المسمار A.

W = 6 kNW_b = 0,5 kNAB = 2 mAC = 3 m

A = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

L = 6 mP = 35 kN عند 4 mw = 12 kN/m من 0 إلى 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 120 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 168 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 120 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 130 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 200 mmالفتحة: 80 × 20 mmمركز الثقب: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 164,2 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 5·(−4) + (−6)·3 + 6·(−6) = −74

المقداران

|a| = √(5² + (−6)² + 6²) = 9,849

|b| = √((−4)² + 3² + (−6)²) = 7,81

الزاوية

cos θ = −74/(9,849·7,81) = −0,962

θ = arccos(−0,962) = 164,2°

الإجابة

θ = 164,2°

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 13

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·(−4) − (−4)·(−5) = −8

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−4)·(−1) − 2·(−4) = 12

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·(−5) − (−3)·(−1) = −13

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = (−1)·(−8) + (−5)·12 + (−5)·(−13) = 13

V = |13| = 13

الإجابة

V = 13

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 21,33 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 32·5,333

R_B = 21,33 kN

R_A = 32 − 21,33 = 10,67 kN

الإجابة

R_B = 21,33 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 32,63 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·3 + 8·3·6,5

R_B = 291/8 = 36,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 36,38 = 32,63 kN

الإجابة

R_A = 32,63 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة G

يقع FG وGH على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 30,94 kN (T), BC: 30,94 kN (T), CD: 25,31 kN (T), DE: 25,31 kN (T), FG: 35,62 kN (C), GH: 35,62 kN (C), AF: 51,56 kN (C), HE: 42,19 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 7,813 kN (T), HC: 17,19 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −24,6 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 − 25·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 22 = 18 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22/0,8944 = −24,6 kN

الإجابة

F_BC = −24,6 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: F_BC = 0,8773 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

العنصر ثنائي القوة BC

BC = √(3,2² + 3²) = 4,386 m

الإطار كاملًا: العزوم حول A

تدفع الأرض العنصر BC عند C على امتداد CB؛ مركّبتها الأفقية تمر بـ A، والرأسية وحدها لها عزم.

F_BC·(3/4,386)·8 = 4·1,2

F_BC = 0,8773 kN (ضغط)

الإجابة

F_BC = 0,8773 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 4,174 kN

قوة الشد في الكابل

T = (6 + 0,5/2)/0,8321 = 7,512 kN

المركّبتان عند A

A_x = T·cos β = 4,167 kN

A_y = 6 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

المقدار

A = √(4,167² + 0,25²) = 4,174 kN

الإجابة

A = 4,174 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 10 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 12,5·4 − 5·4·2 = 10 kN·m

الإجابة

M_x = 10 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 94,67 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4 + 12·6·3

R_B = 356/6 = 59,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 107 − 59,33 = 47,67 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 47,67·4 − 12·4·2 = 94,67 kN·m

الإجابة

M_x = 94,67 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (28800·120 − 706,9·168)/(28800 − 706,9) = 118,8 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·240³/12 + 28800·1,208² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·49,21² = 1,751 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 78,4 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (24000·100 − 1600·130)/(24000 − 1600) = 97,86 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·200³/12 + 24000·2,143² = 80,11 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·20³/12 + 1600·32,14² = 1,706 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 78,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 78,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics