طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (3, 4, 2) و b = (6, 2, 0)، بالدرجات.
a = (3, 4, 2)b = (6, 2, 0)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
تؤثّر قوة F = (−30, 0, −20) N عند النقطة A(0, −1, 2). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة x Mx لعزم القوة حول النقطة O(2, 2, −1).
F = (−30, 0, −20) NA(0, −1, 2) mO(2, 2, −1) m
Mx = N·m
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 15 kN عند 2 mP2 = 10 kN عند 4 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 4 m حتى الطرف الحر عند 6 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.
AB = 4,5 mAC = 6 mP = 15 kN عند 2 mw = 4 kN/m من 4 إلى 6 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
B: 40 kN ↓F: 15 kN →G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 150 N عند A (على بُعد 100 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 120 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.
F = 150 NOA = 100 mmOB = 120 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3,2 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 4 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,2 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 10 kN على الساق AC عند K التي تبعد 1,2 m (أفقيًا) عن A. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.
P = 10 kNAB = 3,2 mارتفاع C = 4 mارتفاع DE = 1,2 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,2 m
C = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
10 kN @ 1 m60 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
60 kN @ 0 m50 kN @ 12 m12 kN/m, 2–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 100 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 156 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 40 MPa في الشد و 90 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = 3·6 + 4·2 + 2·0 = 26
المقداران
|a| = √(3² + 4² + 2²) = 5,385
|b| = √(6² + 2² + 0²) = 6,325
الزاوية
cos θ = 26/(5,385·6,325) = 0,7634
θ = arccos(0,7634) = 40,24°
الإجابة
θ = 40,24°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: Mx = 60 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
متّجه الموضع من O إلى A
r = A − O = (0, −1, 2) − (2, 2, −1) = (−2, −3, 3) m
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
العزوم حول A
عكس عقارب الساعة موجب.
ΣMA = 0: RB·3 = 15·2 + 10·4
RB = 70/3 = 23,33 kN
الاتزان الرأسي
RA = 15 + 10 − 23,33 = 1,667 kN
الإجابة
RA = 1,667 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 7,444 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
محصّلة الحمل الموزّع
W = 4·2 = 8 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·4,5 = 15·2 + 8·5
RB = 70/4,5 = 15,56 kN
RA = 23 − 15,56 = 7,444 kN
الإجابة
RA = 7,444 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FAC = 4,167 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16,67 = 3,333 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
القوة عند B
Q = 150·100/120 = 125 N
رد فعل المسمار
Ox = 125 N, Oy = 150 N
FO = √(125² + 150²) = 195,3 N
الإجابة
FO = 195,3 N
8.الإطارات والآلات
الإجابة: C = 4,319 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
رد فعل المسند عند B
By = 10·1,2/3,2 = 3,75 kN
قوة الرباط
T = 3,75·1,6/2,8 = 2,143 kN
قوة المسمار على BC
Cx = 2,143 kN, Cy = −3,75 kN
C = √(2,143² + 3,75²) = 4,319 kN
الإجابة
C = 4,319 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: C (x = 2 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 48,33 kN, R2 = 21,67 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 48,33, MC = 86,67 kN·m, MD = 65, ME = 43,33, MF = 21,67, MG = 0
الإجابة
علامة C: MC = 86,67 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: E (x = 8 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 82,67 kN, R2 = 99,33 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = −120, MC = −98,67, MD = −125,3, ME = −200 kN·m, MF = −100, MG = 0
الإجابة
علامة E: ME = −200 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm
اللوح الكامل حول ȳ
100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Mallow = 7,452 kN·m
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.