الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

تؤثّر قوة ثابتة F = (−10, 20, 5) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−3, 2, 1) إلى النقطة B(−5, 2, 3). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−10, 20, 5) NA(−3, 2, 1) mB(−5, 2, 3) m

W = J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(−4, 2, −3) و B(4, 3, −2) و C(4, 3, 0). الإحداثيات بالمتر.

A(−4, 2, −3)B(4, 3, −2)C(4, 3, 0)

A = m²

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 5,5 m من A وازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M على بعد 2 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 6 mP = 45 kN عند 5,5 mM = 50 kN·m (باتجاه عقارب الساعة) عند 2 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mP = 20 kN عند 6 mw = 10 kN/m من 6 إلى 9 m

R_B = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 20 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓H: 30 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kNالحمل الأفقي = 5 kN ←

F_AB = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 1,5 m. يتدلى حمل 15 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 15 kNAD = 1,2 mAB = 2 mAC = 1,5 m

A = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من طرفها B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 2 m. يتدلى حمل 10 kN عند B. أوجد قوة الشد T في الكابل.

W = 10 kNW_b = 1 kNAB = 4 mAC = 2 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 20 kN·m عند x = 4 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mM₀ = 20 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 4 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 5,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 5,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 180 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 80 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 18 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 180 mmh = 80 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 170 × 14 mm، وجذع ارتفاعه 190 mm وسُمكه 14 mm، وشفة سفلية 200 × 14 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 170 × 14 mmالجذع: 14 × 190 mmالشفة السفلية: 200 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = 30 J

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (−5, 2, 3) − (−3, 2, 1) = (−2, 0, 2) m

الشغل

W = F·d = (−10)·(−2) + 20·0 + 5·2 = 30 J

الإجابة

W = 30 J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 8,062 m²

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (8, 1, 1)

AC = C − A = (8, 1, 3)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·3 − 1·1 = 2

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 1·8 − 8·3 = −16

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 8·1 − 1·8 = 0

|AB × AC| = √(2² + (−16)² + 0²) = 16,12

مساحة المثلث

A = ½·16,12 = 8,062 m²

الإجابة

A = 8,062 m²

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 49,58 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 45·5,5 − 50 = 0

R_B = 297,5/6 = 49,58 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 45 − 49,58 = −4,583 kN

الإجابة

R_B = 49,58 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 34,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 7,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·6 + 10·3·7,5

R_B = 345/10 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 34,5 = 15,5 kN

الإجابة

R_B = 34,5 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 71,67 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 68,33 kN (T), FG: 71,67 kN (C), GH: 68,33 kN (C), AF: 89,58 kN (C), HE: 85,42 kN (C), BF: 18,75 kN (T), CG: 0, DH: 21,25 kN (T), BG: 2,083 kN (T), DG: 2,083 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −53,11 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 − 5·2 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 7,5 = 47,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −47,5/0,8944 = −53,11 kN

الإجابة

F_AB = −53,11 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 22,36 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

F_CD = 15·2/(0,7809·1,2) = 32,02 kN

المركّبتان عند A

A_x = F_CD·cos α = 20 kN (نحو الجدار)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −10 kN

المقدار

A = √(20² + −10²) = 22,36 kN

الإجابة

A = 22,36 kN

القيمة السالبة لـ A_y تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 23,48 kN

زاوية الكابل

BC = √(4² + 2²) = 4,472 m, sin β = 0,4472

العزوم حول A

T·0,4472·4 = 10·4 + 1·2

T = 23,48 kN

الإجابة

T = 23,48 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 4 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/5 = 4 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −4 kN (إلى الأسفل)

اقطع يمين الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر الآن على R_A والازدواج.

M_x = R_A·a + M₀ = −4·4 + 20 = 4 kN·m

الإجابة

M_x = 4 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 17,72 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·5,5 = 66 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5,5·2,75

R_B = 181,5/4 = 45,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 45,38 = 20,63 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 20,63/12 = 1,719 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 20,63²/(2·12) = 17,72 kN·m

الإجابة

M_max = 17,72 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 2,917 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 180·18 = 3240 mm², y₁ = 9 mm

الساقان: A₂ = 2·18·62 = 2232 mm², y₂ = 18 + 62/2 = 49 mm

المركز

ȳ = (3240·9 + 2232·49)/5472 = 25,32 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 180·18³/12 + 3240·(9 − 25,32)² = 949984 mm⁴

الساقان: 2·18·62³/12 + 2232·(49 − 25,32)² = 1,967 × 10⁶ mm⁴

I_x = 949984 + 1,967 × 10⁶

I_x = 2,917 × 10⁶ mm⁴ = 2,917 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 2,917 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 61,75 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2380 mm², y = 211 mm

الجذع: A = 2660 mm², y = 109 mm

الشفة السفلية: A = 2800 mm², y = 7 mm

المركز

ȳ = (2380·211 + 2660·109 + 2800·7)/7840 = 103,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 170·14³/12 + 2380·107,5² = 2,752 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 14·190³/12 + 2660·5,464² = 8,082 × 10⁶ mm⁴

الشفة السفلية: 200·14³/12 + 2800·96,54² = 2,614 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,752 × 10⁷ + 8,082 × 10⁶ + 2,614 × 10⁷

I_x = 6,175 × 10⁷ mm⁴ = 61,75 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 61,75 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics