طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (−5, −4, −1) و b = (−2, −2, 2)، بالدرجات.
a = (−5, −4, −1)b = (−2, −2, 2)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (5, −2, −2) و b = (−3, 2, 3) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂x.
a = (5, −2, −2)b = (−3, 2, 3)n̂z > 0
n̂x =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.
L = 4 mP1 = 25 kN عند 1 mP2 = 20 kN عند 2,5 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.
L = 5 mP = 35 kN عند 2,5 mw = 5 kN/m من 1 إلى 3 m
RB = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
B: 20 kN ↓C: 20 kN ↓F: 35 kN ↓G: 15 kN ↓
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 5 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kNالحمل الأفقي = 10 kN ←
FBC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 12° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 250 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.
F = 250 Nθ = 12°
Q = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4,8 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 12 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,96 m (أفقيًا) عن A. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.
P = 12 kNAB = 4,8 mارتفاع C = 3 mارتفاع DE = 0,8 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,96 m
C = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M0 = 45 kN·m عند x = 2 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء Mx يسار الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 5 mM0 = 45 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 2 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 4,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 8 mP = 30 kN عند 3 mw = 2 kN/m من 0 إلى 8 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 80 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 35 MPa في الشد و 90 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة.
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−5)·(−2) + (−4)·(−2) + (−1)·2 = 16
المقداران
|a| = √((−5)² + (−4)² + (−1)²) = 6,481
|b| = √((−2)² + (−2)² + 2²) = 3,464
الزاوية
cos θ = 16/(6,481·3,464) = 0,7127
θ = arccos(0,7127) = 44,55°
الإجابة
θ = 44,55°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: n̂x = −0,199
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
الضرب الاتجاهي
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·3 − (−2)·2 = −2
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·(−3) − 5·3 = −9
(a × b)z = axby − aybx = 5·2 − (−2)·(−3) = 4
التسوية إلى الوحدة
المركّبة z لـ a × b موجبة أصلًا.
|a × b| = √((−2)² + (−9)² + 4²) = 10,05
n̂ = (−2, −9, 4)/10,05 = (−0,199, −0,8955, 0,398)
n̂x = −0,199
الإجابة
n̂x = −0,199
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 26,25 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1 + 20·2,5
RB = 75/4 = 18,75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 18,75 = 26,25 kN
الإجابة
RA = 26,25 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 21,5 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2,5 + 5·2·2
RB = 107,5/5 = 21,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 21,5 = 23,5 kN
الإجابة
RB = 21,5 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: العضو DH
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة D
يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 − 10·4 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −6 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
اتزان المسمار B
2·Flink·sin 12° = 250
Flink = 601,2 N
قوة الإطباق
Q = Flink·cos 12° = 250/(2·tan 12°) = 588,1 N
الإجابة
Q = 588,1 N
نسبة القوى Q/F = 2,352 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.
8.الإطارات والآلات
الإجابة: C = 3,552 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
رد فعل المسند عند B
By = 12·0,96/4,8 = 2,4 kN
قوة الرباط
T = 2,4·2,4/2,2 = 2,618 kN
قوة المسمار على BC
Cx = 2,618 kN, Cy = −2,4 kN
C = √(2,618² + 2,4²) = 3,552 kN
الإجابة
C = 3,552 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = −18 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.
ردود أفعال الركائز
العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: RB·L − M0 = 0. الاتزان الرأسي: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 45/5 = 9 kN (إلى الأعلى)
RA = −RB = −9 kN (إلى الأسفل)
اقطع يسار الازدواج مباشرةً
يحتوي الجزء الأيسر على RA فقط.
Mx = RA·a = −9·2 = −18 kN·m
الإجابة
Mx = −18 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 55,13 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·3 + 2·8·4
RB = 154/8 = 19,25 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 19,25 = 26,75 kN
اقطع عند x = 4,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (40000·100 − 1963·80)/(40000 − 1963) = 101 mm
اللوح الكامل حول ȳ
200·200³/12 + 40000·−1,032² = 133,4 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−21,03² = 1,175 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 132,2 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 132,2 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Mallow = 4,998 kN·m
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.