الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (5, 6, 6) و b = (0, −4, −4)، بالدرجات.

a = (5, 6, 6)b = (0, −4, −4)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzABC

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(4, −3, −4) و B(4, 0, 3) و C(1, 2, 3). الإحداثيات بالمتر.

A(4, −3, −4)B(4, 0, 3)C(1, 2, 3)
A = m²
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 60 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m5 m2 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 8 mP1 = 60 kN عند 1 mP2 = 55 kN عند 6 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​1,5 m0,5 m3 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 5 mP = 10 kN عند 1,5 mw = 5 kN/m من 2 إلى 5 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB15 kN8 m5 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH35 kN35 kN4 × 4 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

G: 35 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
OAB200 NQ150 mm100 mmFO​ = ?

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 200 N عند A (على بُعد 150 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 100 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.

F = 200 NOA = 150 mmOB = 100 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
F = ?2000 N15 mmABC

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 120 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 15 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 2000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 2000 NAB = BC = 120 mmh = 15 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
6 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

50 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
15 kN/m10 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

10 kN @ 12 m35 kN @ 4 m15 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
2002526010xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
140360168xM = 120 kN·mالأبعاد بالـ mm

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 140 mm وسُمكها 16 mm، وعمق كلي 360 mm، وجذع سُمكه 8 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 120 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار أقصى إجهاد انحناء σmax في المقطع.

B = 140 mmH = 360 mmtf = 16 mmtw = 8 mmM = 120 kN·m
σmax = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 149,5 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 5·0 + 6·(−4) + 6·(−4) = −48

المقداران

|a| = √(5² + 6² + 6²) = 9,849
|b| = √(0² + (−4)² + (−4)²) = 5,657

الزاوية

cos θ = −48/(9,849·5,657) = −0,8615
θ = arccos(−0,8615) = 149,5°

الإجابة

θ = 149,5°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 13,4 m²

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (0, 3, 7)
AC = C − A = (−3, 5, 7)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 3·7 − 7·5 = −14
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 7·(−3) − 0·7 = −21
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 0·5 − 3·(−3) = 9
|AB × AC| = √((−14)² + (−21)² + 9²) = 26,8

مساحة المثلث

A = ½·26,8 = 13,4 m²

الإجابة

A = 13,4 m²
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 66,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 60 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1 m5 m2 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·8 = 60·1 + 55·6
RB = 390/8 = 48,75 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 48,75 = 66,25 kN

الإجابة

RA = 66,25 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 11,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m3 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,5 + 5·3·3,5
RB = 67,5/5 = 13,5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 13,5 = 11,5 kN

الإجابة

RA = 11,5 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 9,375 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 → Cy = 9,375 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9,375 = 5,625 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9,375/0,7071 = −13,26 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13,26)·0,7071 = 9,375 kN

الإجابة

FAC = 9,375 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 2,917 kN (C), BC: 29,17 kN (T), CD: 29,17 kN (T), DE: 14,58 kN (T), FG: 32,08 kN (C), GH: 49,58 kN (C), AF: 40,1 kN (C), HE: 18,23 kN (C), BF: 24,06 kN (T), CG: 0, DH: 10,94 kN (T), BG: 40,1 kN (C), DG: 18,23 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.الإطارات والآلات

الإجابة: FO = 360,6 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 200·150/100 = 300 N

رد فعل المسمار

Ox = 300 N, Oy = 200 N
FO = √(300² + 200²) = 360,6 N

الإجابة

FO = 360,6 N
8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 504 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 15/120 = 0,125, θ = 7,181°

قوة الذراع

Flink = Q/cos θ = 2016 N

القوة عند B

F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 504 N

الإجابة

F = 504 N
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 51,33 kN, R2 = 34,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 48,33, MC = 90,67 kN·m, MD = 77, ME = 57,33, MF = 31,67, MG = 0

الإجابة

علامة C: MC = 90,67 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 94 kN, R2 = 101 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 158, MC = 256 kN·m, MD = 224, ME = 132, MF = −20, MG = 0

الإجابة

علامة C: MC = 256 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 49,64 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 260 + 25/2 = 272,5 mm
الجذع: Aw = 10·260 = 2600 mm², yw = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·272,5 + 2600·130)/7600 = 223,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 223,8)² = 1,214 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 10·260³/12 + 2600·(130 − 223,8)² = 3,75 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,214 × 10⁷ + 3,75 × 10⁷ = 4,964 × 10⁷ mm⁴ = 49,64 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 49,64 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σmax = 138,3 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − tw) وارتفاعهما hw = H − 2tf، ويشتركان في المحور x.

hw = 360 − 2·16 = 328 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·360³ − 132·328³)/12
Ix = 1,562 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 180 mm
σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·180/1,562 × 10⁸ = 138,3 MPa

الإجابة

σmax = 138,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics