طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد المسقط القياسي compb a لـ a = (−3, 4, −1) على b = (4, −3, 2)، أي مركّبة a في اتجاه b.
a = (−3, 4, −1)b = (4, −3, 2)
compb a =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (−4, 4, 3) و b = (−1, 0, 5) و c = (5, 3, 1).
a = (−4, 4, 3)b = (−1, 0, 5)c = (5, 3, 1)
V =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 6 m وحملًا مركّزًا P على بعد 8 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA عند الجدار.
L = 8 mP = 50 kN عند 8 mw = 2 kN/m من 0 إلى 6 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 2,5 m من A، مائلًا بزاوية 45° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 4 m من A. أوجد الزاوية α بين قوة ردّ الفعل الكلية عند المسمار A والأفق.
L = 6 mP = 20 kN عند 2,5 m, θ = 45°Q = 45 kN عند 4 m
α = °
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 6 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kN
FBC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
B: 10 kN ↓C: 30 kN ↓D: 40 kN ↓H: 35 kN ←
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4,8 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,5 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 5 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.
P = 5 kNAB = 4,8 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 0,8 m
C = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 150 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 5 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 4000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.
Q = 4000 NAB = BC = 150 mmh = 5 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
25 kN @ 4 m25 kN @ 10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 8 mP = 10 kN عند 1 mw = 5 kN/m من 0 إلى 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.
bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
لوح أبعاده 150 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 40 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 150 mmh = 200 mmالفتحة: 40 × 20 mmمركز الثقب: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3المحاليل
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: compb a = −4,828
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−3)·4 + 4·(−3) + (−1)·2 = −26
طول b
|b| = √(4² + (−3)² + 2²) = 5,385
المسقط القياسي
compb a = a·b/|b| = −26/5,385 = −4,828
الإجابة
compb a = −4,828
سالب: لـ a مركّبة تشير عكس b.
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: V = 155
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
الضرب الاتجاهي b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 0·1 − 5·3 = −15
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·5 − (−1)·1 = 26
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·3 − 0·5 = −3
الضرب القياسي مع a
a·(b × c) = (−4)·(−15) + 4·26 + 3·(−3) = 155
V = |155| = 155
الإجابة
V = 155
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 62 kN
اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.
محصّلة الحمل الموزّع
W = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m
الاتزان الرأسي
RA = P + W = 50 + 12 = 62 kN
الإجابة
RA = 62 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: α = 58,69 °
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مركّبتا P
Pv = 20·sin 45° = 14,14 kN
Ph = 20·cos 45° = 14,14 kN
ردود الأفعال
ΣMA = 0: RB·6 = 14,14·2,5 + 45·4 → RB = 35,89 kN
Ay = 14,14 + 45 − 35,89 = 23,25 kN
Ax = Ph = 14,14 kN
الاتجاه عند A
α = atan(Ay/Ax) = atan(23,25/14,14) = 58,69°
الإجابة
α = 58,69°
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FBC = −31,82 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·6 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة G
يقع FG وGH على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
قوة الرباط من الساق BC
By = 2,5 kN
T = 2,5·2,4/1,7 = 3,529 kN
مركّبتا قوة المسمار على BC
Cx = T = 3,529 kN, Cy = −By = −2,5 kN
المقدار
C = √(3,529² + 2,5²) = 4,325 kN
الإجابة
C = 4,325 kN
8.الإطارات والآلات
الإجابة: F = 266,8 N
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
زاوية الذراع
sin θ = 5/150 = 0,03333, θ = 1,91°
قوة الذراع
Flink = Q/cos θ = 4002 N
القوة عند B
F = 2·Flink·sin θ = 2·4000·tan θ = 266,8 N
الإجابة
F = 266,8 N
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: C (x = 4 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 20,83 kN, R2 = 29,17 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 41,67, MC = 83,33 kN·m, MD = 75, ME = 66,67, MF = 58,33, MG = 0
الإجابة
علامة C: MC = 83,33 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 45 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·1 + 5·8·4
RB = 170/8 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 21,25 = 28,75 kN
اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 28,75·4 − 10·(4 − 1) − 5·4·2 = 45 kN·m
الإجابة
Mx = 45 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 49,68 × 10⁶ mm⁴
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
الجذع: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.