الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (4, −7, −4) و b = (−1, −4, −5).

a = (4, −7, −4)b = (−1, −4, −5)

a·b =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A متوازي الأضلاع المحدَّد بـ a = (−6, −4, −5) و b = (−6, 4, −2).

a = (−6, −4, −5)b = (−6, 4, −2)

A =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 6 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 65 kN عند 4 mP₂ = 30 kN عند 8 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 4 m من A، مائلًا بزاوية 45° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 7 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية R_A عند المسمار A.

L = 8 mP = 45 kN عند 4 m, θ = 45°Q = 10 kN عند 7 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kNالحمل الأفقي = 20 kN →

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 0,75 m. يتدلى حمل 4 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 4 kNAD = 1,6 mAB = 2 mAC = 0,75 m

A = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 5 m، والنقطة B على ارتفاع 2 m وعلى بُعد 0,75 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 6 kN عند K التي تبعد 0,375 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 2 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي A_x عند A.

P = 6 kNQ = 2 kNL = 5 mH = 2 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 0,75 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,375 m

A_x = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 2 m15 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 10 mP = 55 kN عند 3 mw = 3 kN/m من 0 إلى 10 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 40 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmالفتحة: 50 × 40 mmمركز الثقب: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = 44

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = 4·(−1) + (−7)·(−4) + (−4)·(−5) = (−4) + 28 + 20 = 44

الإجابة

a·b = 44

موجب: الزاوية بين المتّجهين أقل من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 58,41

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−2) − (−5)·4 = 28

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−6) − (−6)·(−2) = 18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·4 − (−4)·(−6) = −48

المساحة

A = |a × b| = √(28² + 18² + (−48)²) = 58,41

الإجابة

A = 58,41

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 11,67 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·4 + 30·8

R_B = 500/6 = 83,33 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 65 + 30 − 83,33 = 11,67 kN

الإجابة

R_A = 11,67 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 36,15 kN

مركّبتا P

P_v = 45·sin 45° = 31,82 kN

P_h = 45·cos 45° = 31,82 kN

ردود الأفعال

ΣM_A = 0: R_B·8 = 31,82·4 + 10·7 → R_B = 24,66 kN

A_y = 31,82 + 10 − 24,66 = 17,16 kN

A_x = P_h = 31,82 kN

المحصّلة عند A

R_A = √(31,82² + 17,16²) = 36,15 kN

الإجابة

R_A = 36,15 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −12,02 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 10 = 5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,8321 = −12,02 kN

الإجابة

F_BC = −12,02 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 25 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·1 + 20·4 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 25 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0,7071 = −35,36 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−35,36)·0,7071 = 25 kN

الإجابة

F_AC = 25 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 10,71 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

F_CD = 4·2/(0,4244·1,6) = 11,78 kN

المركّبتان عند A

A_x = F_CD·cos α = 10,67 kN (نحو الجدار)

A_y = 4 − F_CD·sin α = −1 kN

المقدار

A = √(10,67² + −1²) = 10,71 kN

الإجابة

A = 10,71 kN

القيمة السالبة لـ A_y تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A_x = 0,6563 kN

اتجاه BC

BC = 4,697 m, cos = 0,9048, sin = 0,4258

الإطار كاملًا: العزوم حول A

F_BC·0,4258·5 = 6·0,375 + 2·2

F_BC = 2,936 kN

الاتزان الأفقي

A_x + 2 − 2,936·0,9048 = 0

A_x = 0,6563 kN → |A_x| = 0,6563 kN

الإجابة

A_x = 0,6563 kN

تتجه A_x نحو اليمين.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 25,83 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 29,17, M_C = 58,33 kN·m, M_D = 47,5, M_E = 36,67, M_F = 25,83, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 58,33 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 147 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·3 + 3·10·5

R_B = 315/10 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 31,5 = 53,5 kN

أين يكون V = 0؟

V(3⁻) = R_A − w·3 = 44,5 kN

V(3⁺) = 44,5 − 55 = −10,5 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 53,5·3 − 3·3²/2 = 147 kN·m

الإجابة

M_max = 147 kN·m

يقع عند x = 3 m من A.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 4,602 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

الجذع: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·127,5 + 960·60)/4260 = 112,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·15³/12 + 3300·(127,5 − 112,3)² = 825438 mm⁴

الجذع: 8·120³/12 + 960·(60 − 112,3)² = 3,777 × 10⁶ mm⁴

I_x = 825438 + 3,777 × 10⁶ = 4,602 × 10⁶ mm⁴ = 4,602 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 4,602 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 41,43 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 2000·90)/(22500 − 2000) = 73,54 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·1,463² = 42,24 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·40³/12 + 2000·16,46² = 0,8088 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 41,43 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 41,43 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics