الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzdFAB

تؤثّر قوة ثابتة F = (−5, −25, 25) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−2, −4, −2) إلى النقطة B(−1, 4, 0). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−5, −25, 25) NA(−2, −4, −2) mB(−1, 4, 0) m
W = J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzABC

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(−1, 3, 2) و B(−1, 1, 4) و C(2, 2, −3). الإحداثيات بالمتر.

A(−1, 3, 2)B(−1, 1, 4)C(2, 2, −3)
A = m²
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w0​ = 20 kN/mP = 25 kNABRB​ = ?6 m4 m

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا ينخفض من 20 kN/m عند A إلى الصفر عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 6 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 10 mw0 = 20 kN/mP = 25 kN عند 6 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w0​ = 8 kN/mP = 50 kNABMA​ = ?4 m4 m

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 8 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 4 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.

L = 8 mw0 = 8 kN/mP = 50 kN عند 4 m
MA = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH25 kN40 kN20 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB15 kN15 kN4 m3 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kNالحمل الأفقي = 15 kN →
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
8 kN3,2 m0,6 m1,9 m0,8 mABCDEK

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3,2 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 2,5 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,6 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 8 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,8 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 8 kNAB = 3,2 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 0,6 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,8 m
T = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
F = ?5000 N5 mmABC

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 100 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 5 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 5000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 5000 NAB = BC = 100 mmh = 5 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
30 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 4 m45 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 12 kN/mP = 25 kNABمقطع2,5 m3,5 m2 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 25 kN عند 6 mw = 12 kN/m من 0 إلى 8 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
1003022010xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
200 mm200 mm70 mm60 × 30xIx​ = ?

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 70 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmالفتحة: 60 × 30 mmمركز الثقب: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = −155 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (−1, 4, 0) − (−2, −4, −2) = (1, 8, 2) m

الشغل

W = F·d = (−5)·1 + (−25)·8 + 25·2 = −155 J

الإجابة

W = −155 J

شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 7,348 m²

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (0, −2, 2)
AC = C − A = (3, −1, −5)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = (−2)·(−5) − 2·(−1) = 12
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 2·3 − 0·(−5) = 6
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 0·(−1) − (−2)·3 = 6
|AB × AC| = √(12² + 6² + 6²) = 14,7

مساحة المثلث

A = ½·14,7 = 7,348 m²

الإجابة

A = 7,348 m²
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 48,33 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·20·10 = 100 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·10 = 100·3,333 + 25·6
RB = 48,33 kN
RA = 125 − 48,33 = 76,67 kN

الإجابة

RB = 48,33 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: MA = 370,7 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·8·8 = 32 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m

العزم حول الجدار

MA = W·x̄ + P·a = 32·5,333 + 50·4 = 370,7 kN·m

الإجابة

MA = 370,7 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 44,06 kN (T), BC: 44,06 kN (T), CD: 19,69 kN (T), DE: 19,69 kN (T), FG: 39,38 kN (C), GH: 39,38 kN (C), AF: 73,44 kN (C), HE: 32,81 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 7,813 kN (C), HC: 32,81 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 7,5 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB15 kN15 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 + 15·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 22,5 = −7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22,5/0,9487 = −23,72 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23,72)·0,3162 = 7,5 kN

الإجابة

FAC = 7,5 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 1,684 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

By = 8·0,8/3,2 = 2 kN

الساق BC: العزوم حول C

2·1,6 = T·1,9
T = 1,684 kN

الإجابة

T = 1,684 kN
8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 500,6 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 5/100 = 0,05, θ = 2,866°

قوة الذراع

Flink = Q/cos θ = 5006 N

القوة عند B

F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 500,6 N

الإجابة

F = 500,6 N
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 17,5 kN, R2 = 57,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 17,5, MC = 35, MD = 52,5, ME = 70 kN·m, MF = 57,5, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = 70 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 98,13 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·6 + 12·8·4
RB = 534/8 = 66,75 kN
ΣFy = 0: RA = 121 − 66,75 = 54,25 kN
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​ = 54,25RB​ = 66,75مقطع2,5 m3,5 m2 m

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 54,25·2,5 − 12·2,5·1,25 = 98,13 kN·m

الإجابة

Mx = 98,13 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 28,93 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
الجذع: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·235 + 2200·110)/5200 = 182,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·30³/12 + 3000·(235 − 182,1)² = 8,615 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 10·220³/12 + 2200·(110 − 182,1)² = 2,031 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8,615 × 10⁶ + 2,031 × 10⁷ = 2,893 × 10⁷ mm⁴ = 28,93 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 28,93 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 131,5 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 1800·70)/(40000 − 1800) = 101,4 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,414² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·30³/12 + 1800·−31,41² = 1,911 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 131,5 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 131,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics