الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد المسقط القياسي comp_b a لـ a = (−1, 3, −1) على b = (−6, 2, 2)، أي مركّبة a في اتجاه b.

a = (−1, 3, −1)b = (−6, 2, 2)

comp_b a =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

تؤثّر قوة F = (10, 30, 40) N عند النقطة A(2, −3, 4). الإحداثيات بالمتر. أوجد مقدار |M| عزم القوة حول نقطة الأصل O(0, 0, 0).

F = (10, 30, 40) NA(2, −3, 4) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طولها كله وحملًا مركّزًا P على بعد 8 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 10 mP = 30 kN عند 8 mw = 12 kN/m من 0 إلى 10 m

M_A = kN·m

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 2 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 6 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 3 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 2 mAD = 6 mP = 55 kN عند 3 mw = 3 kN/m من 2 إلى 6 m

M_A = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kNالحمل الأفقي = 10 kN ←

F_AB = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 0,5 m. يتدلى حمل 12 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 12 kNAD = 1,6 mAB = 2 mAC = 0,5 m

A = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 4,5 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 2 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 20 kN على الساق AC عند K التي تبعد 1,5 m (أفقيًا) عن A. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 20 kNAB = 4 mارتفاع C = 4,5 mارتفاع DE = 2 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,5 m

C = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 4 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 45 kN عند 4 mw = 6 kN/m من 0 إلى 5 m

M_A = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 9,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 9,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

x_c = m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 120 × 24 mm، وجذع ارتفاعه 300 mm وسُمكه 8 mm، وشفة سفلية 250 × 14 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 120 × 24 mmالجذع: 8 × 300 mmالشفة السفلية: 250 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: comp_b a = 1,508

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = (−1)·(−6) + 3·2 + (−1)·2 = 10

طول b

|b| = √((−6)² + 2² + 2²) = 6,633

المسقط القياسي

comp_b a = a·b/|b| = 10/6,633 = 1,508

الإجابة

comp_b a = 1,508

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: |M| = 259,4 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

متّجه الموضع من O إلى A

r = A − O = (2, −3, 4) − (0, 0, 0) = (2, −3, 4) m

العزم M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·40 − 4·30 = −240 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·10 − 2·40 = −40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·30 − (−3)·10 = 90 N·m

المقدار

|M| = √((−240)² + (−40)² + 90²) = 259,4 N·m

الإجابة

|M| = 259,4 N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 840 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 12·10 = 120 kN, x̄ = 5 m

العزم حول الجدار

M_A = P·a + W·x̄ = 30·8 + 120·5 = 840 kN·m

الإجابة

M_A = 840 kN·m

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 94,5 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 3·4 = 12 kN عند 2 m من C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 55·1 + 12·2

R_D = 19,75 kN

V_C = 67 − 19,75 = 47,25 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 47,25 = 47,25 kN

M_A = 47,25·2 = 94,5 kN·m

الإجابة

M_A = 94,5 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 11,25 kN (T), BC: 7,5 kN (T), CD: 7,5 kN (T), DE: 3,75 kN (T), FG: 11,25 kN (C), GH: 3,75 kN (C), AF: 15,91 kN (C), HE: 5,303 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 5,303 kN (T), DG: 5,303 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −22,44 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·5 − 10·2 → C_y = 21,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 21,67 = 8,333 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8,333/0,3714 = −22,44 kN

الإجابة

F_AB = −22,44 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 48,09 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

F_CD = 12·2/(0,2983·1,6) = 50,29 kN

المركّبتان عند A

A_x = F_CD·cos α = 48 kN (نحو الجدار)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −3 kN

المقدار

A = √(48² + −3²) = 48,09 kN

الإجابة

A = 48,09 kN

القيمة السالبة لـ A_y تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 9,605 kN

رد فعل المسند عند B

B_y = 20·1,5/4 = 7,5 kN

قوة الرباط

T = 7,5·2/2,5 = 6 kN

قوة المسمار على BC

C_x = 6 kN, C_y = −7,5 kN

C = √(6² + 7,5²) = 9,605 kN

الإجابة

C = 9,605 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −255 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −45·4 = −180 kN·m

w: −6·5²/2 = −75 kN·m

M_A = −180 − 75 = −255 kN·m

الإجابة

M_A = −255 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 7,719 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·9,5 = 95 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·9,5·4,75

R_B = 451,3/8 = 56,41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 56,41 = 38,59 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·38,59/10 = 7,719 m

الإجابة

x_c = 7,719 m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 12,51 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

الجذع: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·170 + 1600·80)/5200 = 142,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·20³/12 + 3600·(170 − 142,3)² = 2,881 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·160³/12 + 1600·(80 − 142,3)² = 9,625 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,881 × 10⁶ + 9,625 × 10⁶ = 1,251 × 10⁷ mm⁴ = 12,51 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 12,51 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 179,3 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2880 mm², y = 326 mm

الجذع: A = 2400 mm², y = 164 mm

الشفة السفلية: A = 3500 mm², y = 7 mm

المركز

ȳ = (2880·326 + 2400·164 + 3500·7)/8780 = 154,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 120·24³/12 + 2880·171,4² = 8,479 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 8·300³/12 + 2400·9,446² = 1,821 × 10⁷ mm⁴

الشفة السفلية: 250·14³/12 + 3500·147,6² = 7,626 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,479 × 10⁷ + 1,821 × 10⁷ + 7,626 × 10⁷

I_x = 1,793 × 10⁸ mm⁴ = 179,3 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 179,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics