الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (−6, 4, 0) و b = (−1, k, 4) متعامدين.

a = (−6, 4, 0)b = (−1, k, 4)

k =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

للمتّجهين a = (−5, −6, −2) و b = (6, −6, 0)، أوجد المركّبة y (a × b)_y للضرب الاتجاهي a × b.

a = (−5, −6, −2)b = (6, −6, 0)

(a × b)_y =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 6 mP₁ = 50 kN عند 1 mP₂ = 50 kN عند 4,5 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 2,5 m من A، مائلًا بزاوية 60° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 1 m من A. أوجد الزاوية α بين قوة ردّ الفعل الكلية عند المسمار A والأفق.

L = 6 mP = 45 kN عند 2,5 m, θ = 60°Q = 35 kN عند 1 m

α = °

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kNالحمل الأفقي = 25 kN →

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 0,6 m. يتدلى حمل 6 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 6 kNAD = 1,2 mAB = 3 mAC = 0,6 m

A = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 80 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 10 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 1000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 1000 NAB = BC = 80 mmh = 10 mm

F = N

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 6 kN/m من 0 إلى 5 mx = 3 m

V_x = kN

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 7 mw = 8 kN/m من 0 إلى 7 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 110 mm وسُمكها 20 mm، وعمق كلي 500 mm، وجذع سُمكه 6 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 60 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 110 mmH = 500 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = −1,5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = (−6)·(−1) + 4·k + 0·4 = 0

6 + 4·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −6/4 = −1,5

الإجابة

k = −1,5

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: (a × b)_y = −12

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·0 − (−2)·(−6) = −12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·6 − (−5)·0 = −12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−6) − (−6)·6 = 66

المركّبة المطلوبة

(a × b)_y = −12

الإجابة

(a × b)_y = −12

تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 45,83 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 50·4,5

R_B = 275/6 = 45,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 45,83 = 54,17 kN

الإجابة

R_B = 45,83 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: α = 66,56 °

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مركّبتا P

P_v = 45·sin 60° = 38,97 kN

P_h = 45·cos 60° = 22,5 kN

ردود الأفعال

ΣM_A = 0: R_B·6 = 38,97·2,5 + 35·1 → R_B = 22,07 kN

A_y = 38,97 + 35 − 22,07 = 51,9 kN

A_x = P_h = 22,5 kN

الاتجاه عند A

α = atan(A_y/A_x) = atan(51,9/22,5) = 66,56°

الإجابة

α = 66,56°

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 14 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·3 → C_y = 21 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 21 = 14 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21/0,8321 = −25,24 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25,24)·0,5547 = 14 kN

الإجابة

F_AC = 14 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 31,5 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 + 25·4 → C_y = 42 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 42 = 13 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −42/0,8 = −52,5 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−52,5)·0,6 = 31,5 kN

الإجابة

F_AC = 31,5 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 31,32 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

F_CD = 6·3/(0,4472·1,2) = 33,54 kN

المركّبتان عند A

A_x = F_CD·cos α = 30 kN (نحو الجدار)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −9 kN

المقدار

A = √(30² + −9²) = 31,32 kN

الإجابة

A = 31,32 kN

القيمة السالبة لـ A_y تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 252 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 10/80 = 0,125, θ = 7,181°

قوة الذراع

F_link = Q/cos θ = 1008 N

القوة عند B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 252 N

الإجابة

F = 252 N

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −3 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 15 − 6·3 = −3 kN

الإجابة

V_x = −3 kN

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 17,64 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·7·3,5

R_B = 196/5 = 39,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 39,2 = 16,8 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 16,8/8 = 2,1 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 16,8²/(2·8) = 17,64 kN·m

الإجابة

M_max = 17,64 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 26,56 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

الجذع: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·232,5 + 2200·110)/4700 = 175,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·25³/12 + 2500·(232,5 − 175,2)² = 8,35 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·220³/12 + 2200·(110 − 175,2)² = 1,821 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,35 × 10⁶ + 1,821 × 10⁷ = 2,656 × 10⁷ mm⁴ = 26,56 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 26,56 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 45,66 MPa

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 500 − 2·20 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·500³ − 104·460³)/12

I_x = 3,023 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 250 − 20 = 230 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·230/3,023 × 10⁸ = 45,66 MPa

الإجابة

σ_j = 45,66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics