طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (5, −3, 3) و b = (−5, −5, −5)، بالدرجات.
a = (5, −3, 3)b = (−5, −5, −5)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
للمتّجهين a = (−6, 5, −4) و b = (1, 3, 1)، أوجد المركّبة z (a × b)z للضرب الاتجاهي a × b.
a = (−6, 5, −4)b = (1, 3, 1)
(a × b)z =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.
AB = 3 mAC = 5 mP1 = 50 kN عند 2,5 mP2 = 55 kN عند 5 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 4 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 3,5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.
L = 4 mw0 = 4 kN/mP = 60 kN عند 3,5 m
MA = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 60 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 25 kNالحمل الأفقي = 10 kN →
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 6 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 3,6 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 12 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.
P = 12 kNAB = 6 mارتفاع C = 3,6 mارتفاع DE = 1,8 m
C = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 6 m، والنقطة B على ارتفاع 4 m وعلى بُعد 1,8 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 10 kN عند K التي تبعد 0,45 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 4 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي Ax عند A.
P = 10 kNQ = 4 kNL = 6 mH = 4 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 1,8 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,45 m
Ax = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
25 kN @ 5 m45 kN @ 1 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 8 mP = 50 kN عند 2 mw = 2 kN/m من 0 إلى 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 240 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 110 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 14 mm. أوجد ارتفاع المركز ȳ فوق الحافة السفلية.
b = 240 mmh = 110 mmt = 14 mm
ȳ = mm
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
مقطع I ملحوم له شفة علوية 110 × 10 mm، وجذع ارتفاعه 250 mm وسُمكه 8 mm، وشفة سفلية 260 × 24 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي Ix حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = 5·(−5) + (−3)·(−5) + 3·(−5) = −25
المقداران
|a| = √(5² + (−3)² + 3²) = 6,557
|b| = √((−5)² + (−5)² + (−5)²) = 8,66
الزاوية
cos θ = −25/(6,557·8,66) = −0,4402
θ = arccos(−0,4402) = 116,1°
الإجابة
θ = 116,1°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: (a × b)z = −23
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة
(a × b)x = aybz − azby = 5·1 − (−4)·3 = 17
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·1 − (−6)·1 = 2
(a × b)z = axby − aybx = (−6)·3 − 5·1 = −23
المركّبة المطلوبة
(a × b)z = −23
الإجابة
(a × b)z = −23
تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = −28,33 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
العزوم حول A
عكس عقارب الساعة موجب.
ΣMA = 0: RB·3 = 50·2,5 + 55·5
RB = 400/3 = 133,3 kN
الاتزان الرأسي
RA = 50 + 55 − 133,3 = −28,33 kN
الإجابة
RA = −28,33 kN
RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: MA = 231,3 kN·m
اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.
محصّلة الحمل المثلثي
W = ½·4·4 = 8 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m
العزم حول الجدار
MA = W·x̄ + P·a = 8·2,667 + 60·3,5 = 231,3 kN·m
الإجابة
MA = 231,3 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FAC = 12,5 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 10 = 50 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·6 = 25·4 + 10·3 → Cy = 21,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 21,67 = 3,333 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
قوة الرباط من الساق BC
By = 6 kN
T = 6·3/1,8 = 10 kN
مركّبتا قوة المسمار على BC
Cx = T = 10 kN, Cy = −By = −6 kN
المقدار
C = √(10² + 6²) = 11,66 kN
الإجابة
C = 11,66 kN
8.الإطارات والآلات
الإجابة: Ax = 0,4125 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
اتجاه BC
BC = 5,8 m, cos = 0,7241, sin = 0,6897
الإطار كاملًا: العزوم حول A
FBC·0,6897·6 = 10·0,45 + 4·4
FBC = 4,954 kN
الاتزان الأفقي
Ax + 4 − 4,954·0,7241 = 0
Ax = −0,4125 kN → |Ax| = 0,4125 kN
الإجابة
Ax = 0,4125 kN
تعني الإشارة السالبة أن Ax تتجه نحو اليسار.
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: B (x = 1 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 41,67 kN, R2 = 28,33 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 41,67 kN·m, MC = 38,33, MD = 35, ME = 31,67, MF = 28,33, MG = 0
الإجابة
علامة B: MB = 41,67 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 87 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 2·8·4
RB = 164/8 = 20,5 kN
ΣFy = 0: RA = 66 − 20,5 = 45,5 kN
اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 45,5·2 − 2·2·1 = 87 kN·m
الإجابة
Mx = 87 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: ȳ = 31,44 mm
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلات
خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى ثلاثة مستطيلات
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة العلوية: A = 1100 mm², y = 279 mm
الجذع: A = 2000 mm², y = 149 mm
الشفة السفلية: A = 6240 mm², y = 12 mm
المركز
ȳ = (1100·279 + 2000·149 + 6240·12)/9340 = 72,78 mm