الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد المسقط القياسي comp_b a لـ a = (−4, −6, 0) على b = (−4, −6, −6)، أي مركّبة a في اتجاه b.

a = (−4, −6, 0)b = (−4, −6, −6)

comp_b a =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

تؤثّر قوة F = (20, −60, 60) N عند النقطة A(−2, −1, 0). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة z M_z لعزم القوة حول نقطة الأصل O(0, 0, 0).

F = (20, −60, 60) NA(−2, −1, 0) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 10 mP₁ = 45 kN عند 6 mP₂ = 45 kN عند 9 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mP = 50 kN عند 1 mw = 10 kN/m من 1 إلى 2 m

R_B = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kNالحمل الأفقي = 20 kN →

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 2,4 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,5 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,6 m فوق الأرض. يؤثر حمل 6 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 6 kNAB = 2,4 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 0,6 m

C = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 2,5 m. يتدلى حمل 8 kN عند B. أوجد مقدار رد فعل المسمار A.

W = 8 kNW_b = 1 kNAB = 5 mAC = 2,5 m

A = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 5 mP₁ = 25 kN عند 1,5 mP₂ = 40 kN عند 3,5 m

M_max = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 15 kN عند 4,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 160 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 200 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 12 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 160 mmh = 200 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_الأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: comp_b a = 5,543

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = (−4)·(−4) + (−6)·(−6) + 0·(−6) = 52

طول b

|b| = √((−4)² + (−6)² + (−6)²) = 9,381

المسقط القياسي

comp_b a = a·b/|b| = 52/9,381 = 5,543

الإجابة

comp_b a = 5,543

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: M_z = 140 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

متّجه الموضع من O إلى A

r = A − O = (−2, −1, 0) − (0, 0, 0) = (−2, −1, 0) m

العزم M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·60 − 0·(−60) = −60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·20 − (−2)·60 = 120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−60) − (−1)·20 = 140 N·m

المركّبة المطلوبة

M_z = 140 N·m

الإجابة

M_z = 140 N·m

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 22,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·6 + 45·9

R_B = 675/10 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 67,5 = 22,5 kN

الإجابة

R_A = 22,5 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 13 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN، تؤثّر عند x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 10·1·1,5

R_B = 65/5 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 13 = 47 kN

الإجابة

R_B = 13 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −55,53 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·3 → C_y = 20,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 20,63 = 34,38 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20,63/0,3714 = −55,53 kN

الإجابة

F_BC = −55,53 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 20,63 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 + 20·4 → C_y = 27,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 27,5 = 2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27,5/0,8 = −34,38 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−34,38)·0,6 = 20,63 kN

الإجابة

F_AC = 20,63 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 3,548 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الرباط من الساق BC

B_y = 3 kN

T = 3·1,2/1,9 = 1,895 kN

مركّبتا قوة المسمار على BC

C_x = T = 1,895 kN, C_y = −B_y = −3 kN

المقدار

C = √(1,895² + 3²) = 3,548 kN

الإجابة

C = 3,548 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 17,01 kN

قوة الشد في الكابل

T = (8 + 1/2)/0,4472 = 19,01 kN

المركّبتان عند A

A_x = T·cos β = 17 kN

A_y = 8 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

المقدار

A = √(17² + 0,5²) = 17,01 kN

الإجابة

A = 17,01 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 53,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 40·3,5

R_B = 177,5/5 = 35,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 35,5 = 29,5 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P₁: M = R_A·1,5 = 29,5·1,5 = 44,25 kN·m

تحت P₂: M = R_B·1,5 = 35,5·1,5 = 53,25 kN·m

أكبر قيمة

M_max = 53,25 kN·m (تحت P₂)

الإجابة

M_max = 53,25 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 33,75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4,5 + 5·6·3

R_B = 157,5/6 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 26,25 = 18,75 kN

اقطع عند x = 4,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 18,75·4,5 − 5·4,5·2,25 = 33,75 kN·m

الإجابة

M_x = 33,75 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 26,78 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 160·12 = 1920 mm², y₁ = 6 mm

الساقان: A₂ = 2·12·188 = 4512 mm², y₂ = 12 + 188/2 = 106 mm

المركز

ȳ = (1920·6 + 4512·106)/6432 = 76,15 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 160·12³/12 + 1920·(6 − 76,15)² = 9,471 × 10⁶ mm⁴

الساقان: 2·12·188³/12 + 4512·(106 − 76,15)² = 1,731 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,471 × 10⁶ + 1,731 × 10⁷

I_x = 2,678 × 10⁷ mm⁴ = 26,78 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 26,78 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 106,7 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

الجذع: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·145 + 1120·70)/2320 = 108,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·10³/12 + 1200·(145 − 108,8)² = 1,583 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·140³/12 + 1120·(70 − 108,8)² = 3,515 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,583 × 10⁶ + 3,515 × 10⁶ = 5,098 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 108,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·108,8/5,098 × 10⁶ = 106,7 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 106,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics