الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

تؤثّر قوة ثابتة F = (−30, −5, −25) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−3, 0, 4) إلى النقطة B(−4, 0, 1). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−30, −5, −25) NA(−3, 0, 4) mB(−4, 0, 1) m

W = J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (5, −2, −4) و b = (2, −5, −1) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂_x.

a = (5, −2, −4)b = (2, −5, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 8 mP₁ = 25 kN عند 3 mP₂ = 20 kN عند 6 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 5 mP = 55 kN عند 3,5 mw = 10 kN/m من 1 إلى 4 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 20 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 8 m، والنقطة B على ارتفاع 2 m فوق الأرض وعلى بُعد 3,6 m إلى يمين A. يؤثر حمل رأسي 6 kN على العنصر AB عند K التي تبعد 0,9 m (أفقيًا) عن A. أوجد القوة F_BC في العنصر BC.

P = 6 kNL = 8 mH = 2 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 3,6 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,9 m

F_BC = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1,5 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من طرفها B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 2 m. يتدلى حمل 8 kN عند B. أوجد قوة الشد T في الكابل.

W = 8 kNW_b = 1,5 kNAB = 2 mAC = 2 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 8 kN/m من 0 إلى 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 8 mP = 10 kN عند 6 mw = 6 kN/m من 0 إلى 8 m

M_max = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 100 mm وسُمكها 18 mm، وعمق كلي 360 mm، وجذع سُمكه 10 mm. أوجد معامل المقطع المرن S_x للانحناء حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 100 mmH = 360 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 20 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_الأعلى = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = 105 J

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (−4, 0, 1) − (−3, 0, 4) = (−1, 0, −3) m

الشغل

W = F·d = (−30)·(−1) + (−5)·0 + (−25)·(−3) = 105 J

الإجابة

W = 105 J

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_x = 0,647

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−1) − (−4)·(−5) = −18

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·2 − 5·(−1) = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−5) − (−2)·2 = −21

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b سالبة، لذا استخدم −(a × b).

|a × b| = √((−18)² + (−3)² + (−21)²) = 27,82

n̂ = −(−18, −3, −21)/27,82 = (0,647, 0,1078, 0,7548)

n̂_x = 0,647

الإجابة

n̂_x = 0,647

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 20,63 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·3 + 20·6

R_B = 195/8 = 24,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 24,38 = 20,63 kN

الإجابة

R_A = 20,63 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 31,5 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3,5 + 10·3·2,5

R_B = 267,5/5 = 53,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 53,5 = 31,5 kN

الإجابة

R_A = 31,5 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 3,281 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·1 → C_y = 1,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 1,875 = 13,13 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,875/0,4961 = −3,779 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3,779)·0,8682 = 3,281 kN

الإجابة

F_AC = 3,281 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 15 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 43,75 kN (C), HE: 56,25 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 43,75 kN (T), HC: 6,25 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

7.الإطارات والآلات

الإجابة: F_BC = 1,631 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

العنصر ثنائي القوة BC

BC = √(4,4² + 2²) = 4,833 m

الإطار كاملًا: العزوم حول A

تدفع الأرض العنصر BC عند C على امتداد CB؛ مركّبتها الأفقية تمر بـ A، والرأسية وحدها لها عزم.

F_BC·(2/4,833)·8 = 6·0,9

F_BC = 1,631 kN (ضغط)

الإجابة

F_BC = 1,631 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 12,37 kN

زاوية الكابل

BC = √(2² + 2²) = 2,828 m, sin β = 0,7071

العزوم حول A

T·0,7071·2 = 8·2 + 1,5·1

T = 12,37 kN

الإجابة

T = 12,37 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 36 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 40·1 − 8·1·0,5 = 36 kN·m

الإجابة

M_x = 36 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 58,52 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·6 + 6·8·4

R_B = 252/8 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 31,5 = 26,5 kN

أين يكون V = 0؟

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 26,5/6 = 4,417 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 26,5·4,417 − 6·4,417²/2 = 58,52 kN·m

الإجابة

M_max = 58,52 kN·m

يقع عند x = 4,417 m من A.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: S_x = 742,8 × 10³ mm³

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 360 − 2·18 = 324 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·360³ − 90·324³)/12

I_x = 1,337 × 10⁸ mm⁴

معامل المقطع

c = H/2 = 180 mm

S_x = I/c = 1,337 × 10⁸/180

S_x = 742824 mm³ = 742,8 × 10³ mm³

الإجابة

S_x = 742,8 × 10³ mm³

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 68,33 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

الجذع: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·265 + 3120·130)/4120 = 162,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·10³/12 + 1000·(265 − 162,8)² = 1,046 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 12·260³/12 + 3120·(130 − 162,8)² = 2,093 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,046 × 10⁷ + 2,093 × 10⁷ = 3,139 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 270 − 162,8 = 107,2 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·107,2/3,139 × 10⁷ = 68,33 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 68,33 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics