الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (−6, −2, −5) و b = (1, 5, 2).

a = (−6, −2, −5)b = (1, 5, 2)
a·b =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzabc

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (5, 5, −4) و b = (0, −1, −1) و c = (4, −3, −3).

a = (5, 5, −4)b = (0, −1, −1)c = (4, −3, −3)
V =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 30 kNP2​ = 55 kNABCRA​ = ?3 m1 m1 m

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 30 kN عند 3 mP2 = 55 kN عند 5 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 5 kN/mP = 35 kNABCRB​ = ?1 m0,5 m2 m1,5 m

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 1 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 1,5 m حتى الطرف الحر عند 5 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي RB، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 35 kN عند 1 mw = 5 kN/m من 1,5 إلى 5 m
RB = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB45 kN6 m5 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH10 kN20 kN10 kN35 kN20 kN25 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓F: 35 kN →G: 20 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
8 kN6 m1,5 m1,5 m2,25 mABCDEK

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 6 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,5 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 8 kN على الساق AC عند K التي تبعد 2,25 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 8 kNAB = 6 mارتفاع C = 3 mارتفاع DE = 1,5 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 2,25 m
T = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
w = 3 kN/m5 kN0,75 m1,65 m1 mABCD

العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 1 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 3 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 5 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة FCD في الدعامة.

w = 3 kN/mP = 5 kNAD = 0,75 mAB = 2,4 mAC = 1 m
FCD = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 10 kN/mABمقطع1 m5 m

أوجد قوة القص Vx عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 10 kN/m من 0 إلى 6 mx = 1 m
Vx = kN
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 10 kN/mP = 20 kNABمقطع2 m6 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 20 kN عند 2 mw = 10 kN/m من 0 إلى 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
200 mm200 mm120 mmØ30xIx​ = ?

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
1304602214xM = 50 kN·mالأبعاد بالـ mm

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 130 mm وسُمكها 22 mm، وعمق كلي 460 mm، وجذع سُمكه 14 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 50 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار أقصى إجهاد انحناء σmax في المقطع.

B = 130 mmH = 460 mmtf = 22 mmtw = 14 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = −26

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = (−6)·1 + (−2)·5 + (−5)·2 = (−6) + (−10) + (−10) = −26

الإجابة

a·b = −26

سالب: الزاوية بين المتّجهين أكبر من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 36

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = (−1)·(−3) − (−1)·(−3) = 0
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·4 − 0·(−3) = −4
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·(−3) − (−1)·4 = 4

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = 5·0 + 5·(−4) + (−4)·4 = −36
V = |−36| = 36

الإجابة

V = 36
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = −6,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣMA = 0: RB·4 = 30·3 + 55·5
RB = 365/4 = 91,25 kN

الاتزان الرأسي

RA = 30 + 55 − 91,25 = −6,25 kN

الإجابة

RA = −6,25 kN

RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 26,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 5·3,5 = 17,5 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·3,5 = 35·1 + 17,5·3,25
RB = 91,88/3,5 = 26,25 kN
RA = 52,5 − 26,25 = 26,25 kN

الإجابة

RB = 26,25 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 12,5 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·5 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 37,5 = 7,5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37,5/0,9487 = −39,53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−39,53)·0,3162 = 12,5 kN

الإجابة

FAC = 12,5 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 51,56 kN (T), BC: 51,56 kN (T), CD: 47,19 kN (T), DE: 47,19 kN (T), FG: 60,62 kN (C), GH: 60,62 kN (C), AF: 27,6 kN (C), HE: 78,65 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 15,1 kN (T), HC: 22,4 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 6 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

By = 8·2,25/6 = 3 kN

الساق BC: العزوم حول C

3·3 = T·1,5
T = 6 kN

الإجابة

T = 6 kN
8.الإطارات والآلات

الإجابة: FCD = 34,4 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

محصلة الحمل المنتظم

w·L = 3·2,4 = 7,2 kN عند 1,2 m

العزوم حول A للعارضة

FCD·0,8·0,75 = 7,2·1,2 + 5·2,4 = 20,64 kN·m
FCD = 34,4 kN

الإجابة

FCD = 34,4 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Vx = 20 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30مقطع1 m5 m

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = RA − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)
Vx = 30 − 10·1 = 20 kN

الإجابة

Vx = 20 kN
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 90 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·2 + 10·8·4
RB = 360/8 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 45 = 55 kN
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = 55RB​ = 45مقطع2 m6 m

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 55·2 − 10·2·1 = 90 kN·m

الإجابة

Mx = 90 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 133 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 706,9·120)/(40000 − 706,9) = 99,64 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·0,3598² = 133,3 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·20,36² = 0,3328 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 133 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 133 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σmax = 32,07 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − tw) وارتفاعهما hw = H − 2tf، ويشتركان في المحور x.

hw = 460 − 2·22 = 416 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·460³ − 116·416³)/12
Ix = 3,586 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 230 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·230/3,586 × 10⁸ = 32,07 MPa

الإجابة

σmax = 32,07 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics