طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد المسقط القياسي compb a لـ a = (−7, 6, −4) على b = (−4, 6, 4)، أي مركّبة a في اتجاه b.
a = (−7, 6, −4)b = (−4, 6, 4)
compb a =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(−3, −3, −4) و B(3, −1, 3) و C(0, 1, 4). الإحداثيات بالمتر.
A(−3, −3, −4)B(3, −1, 3)C(0, 1, 4)
A = m²
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.
L = 5 mP1 = 45 kN عند 3 mP2 = 25 kN عند 3,5 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 2 m حتى الطرف الحر عند 4 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.
AB = 3 mAC = 4 mP = 65 kN عند 1,5 mw = 4 kN/m من 2 إلى 4 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
B: 30 kN ↓C: 25 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 3 m، والنقطة B على ارتفاع 2 m فوق الأرض وعلى بُعد 1,8 m إلى يمين A. يؤثر حمل رأسي 10 kN على العنصر AB عند K التي تبعد 0,45 m (أفقيًا) عن A. أوجد القوة FBC في العنصر BC.
P = 10 kNL = 3 mH = 2 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 1,8 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,45 m
FBC = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 3 m، والنقطة B على ارتفاع 3 m وعلى بُعد 1,35 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 8 kN عند K التي تبعد 0,675 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 3 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي Ax عند A.
P = 8 kNQ = 3 kNL = 3 mH = 3 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 1,35 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,675 m
Ax = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 6,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 8 mw = 5 kN/m من 0 إلى 8 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.
L = 4 mP = 40 kN عند 1,5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 4 m
Mmax = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 200 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 35 MPa في الشد و 100 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−7)·(−4) + 6·6 + (−4)·4 = 48
طول b
|b| = √((−4)² + 6² + 4²) = 8,246
المسقط القياسي
compb a = a·b/|b| = 48/8,246 = 5,821
الإجابة
compb a = 5,821
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: A = 17,3 m²
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
متّجها الضلعين
AB = B − A = (6, 2, 7)
AC = C − A = (3, 4, 8)
الضرب الاتجاهي
(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 2·8 − 7·4 = −12
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 7·3 − 6·8 = −27
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 6·4 − 2·3 = 18
|AB × AC| = √((−12)² + (−27)² + 18²) = 34,6
مساحة المثلث
A = ½·34,6 = 17,3 m²
الإجابة
A = 17,3 m²
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 44,5 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·5 = 45·3 + 25·3,5
RB = 222,5/5 = 44,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 44,5 = 25,5 kN
الإجابة
RB = 44,5 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 32,5 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
محصّلة الحمل الموزّع
W = 4·2 = 8 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·3 = 65·1,5 + 8·3
RB = 121,5/3 = 40,5 kN
RA = 73 − 40,5 = 32,5 kN
الإجابة
RA = 32,5 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: العضو DH
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة D
يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
العنصر ثنائي القوة BC
BC = √(1,2² + 2²) = 2,332 m
الإطار كاملًا: العزوم حول A
تدفع الأرض العنصر BC عند C على امتداد CB؛ مركّبتها الأفقية تمر بـ A، والرأسية وحدها لها عزم.
FBC·(2/2,332)·3 = 10·0,45
FBC = 1,749 kN (ضغط)
الإجابة
FBC = 1,749 kN
8.الإطارات والآلات
الإجابة: Ax = 0,36 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
اتجاه BC
BC = 3,424 m, cos = 0,4819, sin = 0,8762
الإطار كاملًا: العزوم حول A
FBC·0,8762·3 = 8·0,675 + 3·3
FBC = 5,478 kN
الاتزان الأفقي
Ax + 3 − 5,478·0,4819 = 0
Ax = −0,36 kN → |Ax| = 0,36 kN
الإجابة
Ax = 0,36 kN
تعني الإشارة السالبة أن Ax تتجه نحو اليسار.
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 24,38 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
اقطع عند x = 6,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 20·6,5 − 5·6,5·3,25 = 24,38 kN·m
الإجابة
Mx = 24,38 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mmax = 52,5 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1,5 + 8·4·2
RB = 124/4 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 31 = 41 kN
أين يكون V = 0؟
V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 29 kN
V(1,5⁺) = 29 − 40 = −11 kN
يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (60000·150 − 2827·120)/(60000 − 2827) = 151,5 mm
اللوح الكامل حول ȳ
200·300³/12 + 60000·−1,484² = 450,1 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−31,48² = 3,439 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 446,7 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 446,7 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Mallow = 13,6 kN·m
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.