طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد المسقط القياسي compb a لـ a = (−7, −4, 0) على b = (−2, −6, −4)، أي مركّبة a في اتجاه b.
a = (−7, −4, 0)b = (−2, −6, −4)
compb a =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
أوجد مساحة A متوازي الأضلاع المحدَّد بـ a = (4, 5, 6) و b = (−1, −3, −3).
a = (4, 5, 6)b = (−1, −3, −3)
A =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 4 m وحملًا مركّزًا P على بعد 6 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA عند الجدار.
L = 10 mP = 80 kN عند 6 mw = 2 kN/m من 0 إلى 4 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.
L = 6 mP = 60 kN عند 2 mw = 10 kN/m من 3 إلى 5 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN
FAB = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 30 kN ←
FAB = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 30° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 500 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.
F = 500 Nθ = 30°
Q = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 120 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 8 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 5000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.
Q = 5000 NAB = BC = 120 mmh = 8 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 6 mP1 = 70 kN عند 2 mP2 = 65 kN عند 6 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.
L = 4 mP = 30 kN عند 1,5 mw = 3 kN/m من 0 إلى 4 m
Mmax = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
أنبوب دائري قطره الخارجي D = 250 mm وقطره الداخلي d = 218 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.
D = 250 mmd = 218 mm
r = mm
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 150 mmh = 150 mmالفتحة: 50 × 20 mmمركز الثقب: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3المحاليل
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: compb a = 5,078
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−7)·(−2) + (−4)·(−6) + 0·(−4) = 38
طول b
|b| = √((−2)² + (−6)² + (−4)²) = 7,483
المسقط القياسي
compb a = a·b/|b| = 38/7,483 = 5,078
الإجابة
compb a = 5,078
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: A = 9,695
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
الضرب الاتجاهي
(a × b)x = aybz − azby = 5·(−3) − 6·(−3) = 3
(a × b)y = azbx − axbz = 6·(−1) − 4·(−3) = 6
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−3) − 5·(−1) = −7
المساحة
A = |a × b| = √(3² + 6² + (−7)²) = 9,695
الإجابة
A = 9,695
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 88 kN
اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.
محصّلة الحمل الموزّع
W = 2·4 = 8 kN, x̄ = 2 m
الاتزان الرأسي
RA = P + W = 80 + 8 = 88 kN
الإجابة
RA = 88 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 46,67 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 10·2·4
RB = 200/6 = 33,33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 33,33 = 46,67 kN
الإجابة
RA = 46,67 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FAB = −8,333 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 10 = 5 kN
العقدة A
افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.
sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0,6 = −8,333 kN
الإجابة
FAB = −8,333 kN (ضغط)
6.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FAB = −34,38 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·3 − 30·4 → Cy = −7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −7,5 = 27,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
العقدة A
افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.
sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −27,5/0,8 = −34,38 kN
الإجابة
FAB = −34,38 kN (ضغط)
7.الإطارات والآلات
الإجابة: Q = 433 N
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
اتزان المسمار B
2·Flink·sin 30° = 500
Flink = 500 N
قوة الإطباق
Q = Flink·cos 30° = 500/(2·tan 30°) = 433 N
الإجابة
Q = 433 N
نسبة القوى Q/F = 0,866 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.
8.الإطارات والآلات
الإجابة: F = 668,2 N
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
زاوية الذراع
sin θ = 8/120 = 0,06667, θ = 3,823°
قوة الذراع
Flink = Q/cos θ = 5011 N
القوة عند B
F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 668,2 N
الإجابة
F = 668,2 N
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 58 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.
ΣMA = 0: RB·5 = 70·2 + 65·6
RB = 530/5 = 106 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 106 = 29 kN
اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر
Mx = RA·2 = 29·2 = 58 kN·m
الإجابة
Mx = 58 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mmax = 33,75 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1,5 + 3·4·2
RB = 69/4 = 17,25 kN
ΣFy = 0: RA = 42 − 17,25 = 24,75 kN
أين يكون V = 0؟
V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 20,25 kN
V(1,5⁺) = 20,25 − 30 = −9,75 kN
يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.
عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = Ic + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.
المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي
A = π(D² − d²)/4 = 11762 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,088 × 10⁷ mm⁴
نصف قطر الدوران
r = √(I/A) = √(8,088 × 10⁷/11762) = 82,92 mm
الإجابة
r = 82,92 mm
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 41,21 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (22500·75 − 1000·105)/(22500 − 1000) = 73,6 mm