في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 10° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 250 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.
F = 250 Nθ = 10°
Q = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 0,5 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من طرفها B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 1,5 m. يتدلى حمل 6 kN عند B. أوجد قوة الشد T في الكابل.
W = 6 kNWb = 0,5 kNAB = 2 mAC = 1,5 m
T = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
50 kN @ 2 m4 kN/m, 1–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة xc من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).
L = 6 mw = 10 kN/m من 0 إلى 6 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m
xc = m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 25 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σالأسفل عند الحافة السفلية.
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−2)·(−6) + 0·5 + (−3)·(−3) = 21
المقداران
|a| = √((−2)² + 0² + (−3)²) = 3,606
|b| = √((−6)² + 5² + (−3)²) = 8,367
الزاوية
cos θ = 21/(3,606·8,367) = 0,6961
θ = arccos(0,6961) = 45,88°
الإجابة
θ = 45,88°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: (a × b)x = −20
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = −35 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
العزوم حول A
عكس عقارب الساعة موجب.
ΣMA = 0: RB·3 = 30·2,5 + 60·5
RB = 375/3 = 125 kN
الاتزان الرأسي
RA = 30 + 60 − 125 = −35 kN
الإجابة
RA = −35 kN
RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 19,5 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3,5 + 5·5·2,5
RB = 97,5/5 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 19,5 = 15,5 kN
الإجابة
RB = 19,5 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: العضو CG
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة C
يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
اتزان المسمار B
2·Flink·sin 10° = 250
Flink = 719,8 N
قوة الإطباق
Q = Flink·cos 10° = 250/(2·tan 10°) = 708,9 N
الإجابة
Q = 708,9 N
نسبة القوى Q/F = 2,836 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.
8.الإطارات والآلات
الإجابة: T = 10,42 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
زاوية الكابل
BC = √(2² + 1,5²) = 2,5 m, sin β = 0,6
العزوم حول A
T·0,6·2 = 6·2 + 0,5·1
T = 10,42 kN
الإجابة
T = 10,42 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: C (x = 2 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 41,33 kN, R2 = 24,67 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 41,33, MC = 80,67 kN·m, MD = 66, ME = 47,33, MF = 24,67, MG = 0
الإجابة
علامة C: MC = 80,67 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: xc = 4,8 m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·6·3
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 36 = 24 kN
انعدام العزم
بين الركيزتين M(x) = RA·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2RA/w.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·24/10 = 4,8 m
الإجابة
xc = 4,8 m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 67,56 × 10⁶ mm⁴
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 260 + 25/2 = 272,5 mm
الجذع: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
الجذع: Aw = 12·200 = 2400 mm², yw = 200/2 = 100 mm