الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد المسقط القياسي compb a لـ a = (−6, −3, −7) على b = (4, −3, 5)، أي مركّبة a في اتجاه b.

a = (−6, −3, −7)b = (4, −3, 5)
compb a =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzab

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (2, 0, 1) و b = (4, 3, 0) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂x.

a = (2, 0, 1)b = (4, 3, 0)n̂z > 0
n̂x =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 55 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1,5 m3 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 6 mP1 = 55 kN عند 1,5 mP2 = 15 kN عند 3 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 8 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 5 mP = 30 kN عند 1 mw = 8 kN/m من 2 إلى 4 m
RB = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH25 kN15 kN35 kN4 × 3 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 35 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH30 kN35 kN25 kN10 kN30 kN4 × 4 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 30 kN ↓C: 35 kN ↓D: 25 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
OAB100 NQ300 mm60 mmFO​ = ?

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 100 N عند A (على بُعد 300 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 60 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.

F = 100 NOA = 300 mmOB = 60 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
10 kN4 kN6 m4 m2,7 mABCK

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 6 m، والنقطة B على ارتفاع 4 m وعلى بُعد 2,7 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 10 kN عند K التي تبعد 1,08 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 4 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي Ax عند A.

P = 10 kNQ = 4 kNL = 6 mH = 4 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 2,7 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,08 m
Ax = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 10 kN/mABمقطع7 m1 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 7 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 10 kN/m من 0 إلى 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 12 kN/mP = 45 kNABمقطع3 m4 m3 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 7 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP = 45 kN عند 3 mw = 12 kN/m من 0 إلى 10 mx = 7 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
120 mm150 mm105 mmØ50xIx​ = ?

لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
100 mm300 mm105 mm40 × 30xIx​ = ?

لوح أبعاده 100 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 40 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 300 mmالفتحة: 40 × 30 mmمركز الثقب: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: compb a = −7,071

الضرب القياسي: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = (−6)·4 + (−3)·(−3) + (−7)·5 = −50

طول b

|b| = √(4² + (−3)² + 5²) = 7,071

المسقط القياسي

compb a = a·b/|b| = −50/7,071 = −7,071

الإجابة

compb a = −7,071

سالب: لـ a مركّبة تشير عكس b.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂x = −0,3841

الضرب الاتجاهي: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)x = aybz − azby = 0·0 − 1·3 = −3
(a × b)y = azbx − axbz = 1·4 − 2·0 = 4
(a × b)z = axby − aybx = 2·3 − 0·4 = 6

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b موجبة أصلًا.

|a × b| = √((−3)² + 4² + 6²) = 7,81
n̂ = (−3, 4, 6)/7,81 = (−0,3841, 0,5121, 0,7682)
n̂x = −0,3841

الإجابة

n̂x = −0,3841
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 21,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 55 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1,5 m1,5 m3 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 15·3
RB = 127,5/6 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 21,25 = 48,75 kN

الإجابة

RB = 21,25 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 15,6 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 8 kN/mP = 30 kNABRA​RB​1 m1 m2 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1 + 8·2·3
RB = 78/5 = 15,6 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 15,6 = 30,4 kN

الإجابة

RB = 15,6 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 47,5 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 32,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 38,89 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة G

يقع FG وGH على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 26,25 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 43,75 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 82,5 kN (C), GH: 82,5 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 37,12 kN (T), HC: 12,37 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.الإطارات والآلات

الإجابة: FO = 509,9 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 100·300/60 = 500 N

رد فعل المسمار

Ox = 500 N, Oy = 100 N
FO = √(500² + 100²) = 509,9 N

الإجابة

FO = 509,9 N
8.الإطارات والآلات

الإجابة: Ax = 0,315 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

اتجاه BC

BC = 5,186 m, cos = 0,6364, sin = 0,7714

الإطار كاملًا: العزوم حول A

FBC·0,7714·6 = 10·1,08 + 4·4
FBC = 5,791 kN

الاتزان الأفقي

Ax + 4 − 5,791·0,6364 = 0
Ax = −0,315 kN → |Ax| = 0,315 kN

الإجابة

Ax = 0,315 kN

تعني الإشارة السالبة أن Ax تتجه نحو اليسار.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 35 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40مقطع7 m1 m

اقطع عند x = 7 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 40·7 − 10·7·3,5 = 35 kN·m

الإجابة

Mx = 35 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 166,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·3 + 12·10·5
RB = 735/10 = 73,5 kN
ΣFy = 0: RA = 165 − 73,5 = 91,5 kN
w = 12 kN/mP = 45 kNABRA​ = 91,5RB​ = 73,5مقطع3 m4 m3 m

اقطع عند x = 7 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 91,5·7 − 45·(7 − 3) − 12·7·3,5 = 166,5 kN·m

الإجابة

Mx = 166,5 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 31,46 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (18000·75 − 1963·105)/(18000 − 1963) = 71,33 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·150³/12 + 18000·3,673² = 33,99 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·50⁴/64 + 1963·33,67² = 2,533 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 31,46 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 31,46 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 222,4 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·150 − 1200·105)/(30000 − 1200) = 151,9 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·300³/12 + 30000·−1,875² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

40·30³/12 + 1200·−46,88² = 2,727 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 222,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 222,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics