الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد المسقط القياسي comp_b a لـ a = (1, −1, −7) على b = (0, −1, −4)، أي مركّبة a في اتجاه b.

a = (1, −1, −7)b = (0, −1, −4)

comp_b a =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(1, 3, −2) و B(−4, −1, 1) و C(2, 2, −4). الإحداثيات بالمتر.

A(1, 3, −2)B(−4, −1, 1)C(2, 2, −4)

A = m²

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 2,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 2,5 mAC = 4 mP₁ = 40 kN عند 1,5 mP₂ = 50 kN عند 4 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 5 mP = 15 kN عند 2 mw = 10 kN/m من 3 إلى 5 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kNالحمل الأفقي = 30 kN ←

F_BC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 50 N عند A (على بُعد 240 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 120 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار F_O.

F = 50 NOA = 240 mmOB = 120 mm

F_O = N

8.الإطارات والآلاتصعبة

العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 0,8 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 2,5 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 4 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة F_CD في الدعامة.

w = 2,5 kN/mP = 4 kNAD = 1,5 mAB = 2,4 mAC = 0,8 m

F_CD = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 4 kN/m من 0 إلى 10 mx = 1,5 m

V_x = kN

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 0,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 25 kN عند 4 mw = 4 kN/m من 0 إلى 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 150 mm وسُمكها 20 mm، وعمق كلي 280 mm، وجذع سُمكه 14 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 150 mmH = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 130 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 200 mmالفتحة: 60 × 30 mmمركز الثقب: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: comp_b a = 7,034

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 1·0 + (−1)·(−1) + (−7)·(−4) = 29

طول b

|b| = √(0² + (−1)² + (−4)²) = 4,123

المسقط القياسي

comp_b a = a·b/|b| = 29/4,123 = 7,034

الإجابة

comp_b a = 7,034

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 7,921 m²

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (−5, −4, 3)

AC = C − A = (1, −1, −2)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−4)·(−2) − 3·(−1) = 11

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·1 − (−5)·(−2) = −7

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−5)·(−1) − (−4)·1 = 9

|AB × AC| = √(11² + (−7)² + 9²) = 15,84

مساحة المثلث

A = ½·15,84 = 7,921 m²

الإجابة

A = 7,921 m²

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 104 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 40·1,5 + 50·4

R_B = 260/2,5 = 104 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 40 + 50 − 104 = −14 kN

الإجابة

R_B = 104 kN

R_A سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 13 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 10·2·4

R_B = 110/5 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 22 = 13 kN

الإجابة

R_A = 13 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 3,75 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,9701 = −15,46 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,46)·0,2425 = 3,75 kN

الإجابة

F_AC = 3,75 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = 17,34 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 − 30·4 → C_y = −10,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − −10,83 = 65,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−10,83/0,6247 = 17,34 kN

الإجابة

F_BC = 17,34 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: F_O = 111,8 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 50·240/120 = 100 N

رد فعل المسمار

O_x = 100 N, O_y = 50 N

F_O = √(100² + 50²) = 111,8 N

الإجابة

F_O = 111,8 N

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F_CD = 23,8 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

محصلة الحمل المنتظم

w·L = 2,5·2,4 = 6 kN عند 1,2 m

العزوم حول A للعارضة

F_CD·0,4706·1,5 = 6·1,2 + 4·2,4 = 16,8 kN·m

F_CD = 23,8 kN

الإجابة

F_CD = 23,8 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 14 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 1,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 20 − 4·1,5 = 14 kN

الإجابة

V_x = 14 kN

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 7 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 4·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 30 = 15 kN

اقطع عند x = 0,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 15·0,5 − 4·0,5·0,25 = 7 kN·m

الإجابة

M_x = 7 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 117,7 × 10⁶ mm⁴

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 280 − 2·20 = 240 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·280³ − 136·240³)/12

I_x = 1,177 × 10⁸ mm⁴ = 117,7 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 117,7 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 98,14 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·100 − 1800·130)/(30000 − 1800) = 98,09 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·200³/12 + 30000·1,915² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·30³/12 + 1800·31,91² = 1,968 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 98,14 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 98,14 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics