الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (−3, −2, 0) و b = (6, −6, 7).

a = (−3, −2, 0)b = (6, −6, 7)

a·b =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (4, 0, −2) و b = (−2, −2, 2) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته y n̂_y.

a = (4, 0, −2)b = (−2, −2, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 8 mP₁ = 20 kN عند 2 mP₂ = 35 kN عند 4 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 1 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 3 m حتى الطرف الحر عند 5 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4 mAC = 5 mP = 80 kN عند 1 mw = 3 kN/m من 3 إلى 5 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kNالحمل الأفقي = 15 kN →

F_BC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 300 N عند A (على بُعد 200 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 75 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار F_O.

F = 300 NOA = 200 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.الإطارات والآلاتصعبة

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 5 m، والنقطة B على ارتفاع 4 m وعلى بُعد 0,75 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 10 kN عند K التي تبعد 0,1875 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 5 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي A_x عند A.

P = 10 kNQ = 5 kNL = 5 mH = 4 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 0,75 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,1875 m

A_x = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2,5 m من A. أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 3 mP = 70 kN عند 2,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 3 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد عزم الانحناء M_B عند الركيزة B. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 9,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 9,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

M_B = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 180 × 16 mm، وجذع ارتفاعه 310 mm وسُمكه 12 mm، وشفة سفلية 260 × 24 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 180 × 16 mmالجذع: 12 × 310 mmالشفة السفلية: 260 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = −6

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = (−3)·6 + (−2)·(−6) + 0·7 = (−18) + 12 + 0 = −6

الإجابة

a·b = −6

سالب: الزاوية بين المتّجهين أكبر من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_y = 0,4082

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·2 − (−2)·(−2) = −4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−2) − 4·2 = −4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−2) − 0·(−2) = −8

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b سالبة، لذا استخدم −(a × b).

|a × b| = √((−4)² + (−4)² + (−8)²) = 9,798

n̂ = −(−4, −4, −8)/9,798 = (0,4082, 0,4082, 0,8165)

n̂_y = 0,4082

الإجابة

n̂_y = 0,4082

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 22,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 35·4

R_B = 180/8 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 22,5 = 32,5 kN

الإجابة

R_B = 22,5 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 60 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·1 + 6·4

R_B = 104/4 = 26 kN

R_A = 86 − 26 = 60 kN

الإجابة

R_A = 60 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 68,33 kN (T), BC: 90 kN (T), CD: 90 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 68,33 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 85,42 kN (C), HE: 81,25 kN (C), BF: 41,25 kN (T), CG: 0, DH: 48,75 kN (T), BG: 27,08 kN (C), DG: 31,25 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −29,15 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 + 15·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,5145 = −29,15 kN

الإجابة

F_BC = −29,15 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: F_O = 854,4 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي F_in·a = F_out·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 300·200/75 = 800 N

رد فعل المسمار

O_x = 800 N, O_y = 300 N

F_O = √(800² + 300²) = 854,4 N

الإجابة

F_O = 854,4 N

8.الإطارات والآلات

الإجابة: A_x = 0,3516 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

اتجاه BC

BC = 5,836 m, cos = 0,7282, sin = 0,6854

الإطار كاملًا: العزوم حول A

F_BC·0,6854·5 = 10·0,1875 + 5·4

F_BC = 6,383 kN

الاتزان الأفقي

A_x + 5 − 6,383·0,7282 = 0

A_x = −0,3516 kN → |A_x| = 0,3516 kN

الإجابة

A_x = 0,3516 kN

تعني الإشارة السالبة أن A_x تتجه نحو اليسار.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −125 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −70·1,5 = −105 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_x = −105 − 20 = −125 kN·m

الإجابة

M_x = −125 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_B = −5,625 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·9,5 = 47,5 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9,5·4,75

R_B = 225,6/8 = 28,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47,5 − 28,2 = 19,3 kN

اقطع عند B واحتفظ بالجزء البارز

الحمل على الجزء البارز، w·a، يؤثّر على بعد a/2 من B ويجعل الكمرة تتحدّب فوق الركيزة.

M_B = −w·a²/2 = −5·1,5²/2 = −5,625 kN·m

الإجابة

M_B = −5,625 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 27,16 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

الجذع: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·227,5 + 2200·110)/5500 = 180,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·15³/12 + 3300·(227,5 − 180,5)² = 7,352 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·220³/12 + 2200·(110 − 180,5)² = 1,981 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,352 × 10⁶ + 1,981 × 10⁷ = 2,716 × 10⁷ mm⁴ = 27,16 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 27,16 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 255,2 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2880 mm², y = 342 mm

الجذع: A = 3720 mm², y = 179 mm

الشفة السفلية: A = 6240 mm², y = 12 mm

المركز

ȳ = (2880·342 + 3720·179 + 6240·12)/12840 = 134,4 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 180·16³/12 + 2880·207,6² = 1,242 × 10⁸ mm⁴

الجذع: 12·310³/12 + 3720·44,6² = 3,719 × 10⁷ mm⁴

الشفة السفلية: 260·24³/12 + 6240·122,4² = 9,379 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,242 × 10⁸ + 3,719 × 10⁷ + 9,379 × 10⁷

I_x = 2,552 × 10⁸ mm⁴ = 255,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 255,2 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics