طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد المسقط القياسي compb a لـ a = (0, 3, −7) على b = (4, −6, −2)، أي مركّبة a في اتجاه b.
a = (0, 3, −7)b = (4, −6, −2)
compb a =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
للمتّجهين a = (6, −5, 5) و b = (4, 1, −3)، أوجد المركّبة x (a × b)x للضرب الاتجاهي a × b.
a = (6, −5, 5)b = (4, 1, −3)
(a × b)x =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.
L = 8 mP1 = 25 kN عند 2 mP2 = 35 kN عند 3 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.
L = 6 mP = 45 kN عند 5 mw = 8 kN/m من 2 إلى 5 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kN
FBC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 50 kNالحمل الأفقي = 30 kN ←
FAB = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 2,4 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,4 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 4 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.
P = 4 kNAB = 2,4 mارتفاع C = 2,4 mارتفاع DE = 0,8 m
C = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 5 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3,6 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 20 kN على الساق AC عند K التي تبعد 1,875 m (أفقيًا) عن A. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.
P = 20 kNAB = 5 mارتفاع C = 3,6 mارتفاع DE = 1,8 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 1,875 m
C = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 7,5 mP1 = 35 kN عند 3,5 mP2 = 45 kN عند 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
25 kN @ 0 m45 kN @ 6 m15 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 220 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 70 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 10 mm. أوجد ارتفاع المركز ȳ فوق الحافة السفلية.
b = 220 mmh = 70 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 35 MPa في الشد و 150 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = 0·4 + 3·(−6) + (−7)·(−2) = −4
طول b
|b| = √(4² + (−6)² + (−2)²) = 7,483
المسقط القياسي
compb a = a·b/|b| = −4/7,483 = −0,5345
الإجابة
compb a = −0,5345
سالب: لـ a مركّبة تشير عكس b.
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: (a × b)x = 10
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·(−3) − 5·1 = 10
(a × b)y = azbx − axbz = 5·4 − 6·(−3) = 38
(a × b)z = axby − aybx = 6·1 − (−5)·4 = 26
المركّبة المطلوبة
(a × b)x = 10
الإجابة
(a × b)x = 10
تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RB = 19,38 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
ΣMA = 0: RB·8 = 25·2 + 35·3
RB = 155/8 = 19,38 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 19,38 = 40,63 kN
الإجابة
RB = 19,38 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 17,5 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مخطط الجسم الحر
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
الاتزان
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·5 + 8·3·3,5
RB = 309/6 = 51,5 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 51,5 = 17,5 kN
الإجابة
RA = 17,5 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FBC = −34,24 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·7 → Cy = 30,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 30,63 = 4,375 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 − 30·4 → Cy = 16,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 16,25 = 33,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
العقدة A
افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.
sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −33,75/0,6247 = −54,03 kN
الإجابة
FAB = −54,03 kN (ضغط)
7.الإطارات والآلات
الإجابة: C = 2,5 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
قوة الرباط من الساق BC
By = 2 kN
T = 2·1,2/1,6 = 1,5 kN
مركّبتا قوة المسمار على BC
Cx = T = 1,5 kN, Cy = −By = −2 kN
المقدار
C = √(1,5² + 2²) = 2,5 kN
الإجابة
C = 2,5 kN
8.الإطارات والآلات
الإجابة: C = 12,84 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
رد فعل المسند عند B
By = 20·1,875/5 = 7,5 kN
قوة الرباط
T = 7,5·2,5/1,8 = 10,42 kN
قوة المسمار على BC
Cx = 10,42 kN, Cy = −7,5 kN
C = √(10,42² + 7,5²) = 12,84 kN
الإجابة
C = 12,84 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 11,67 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.
ΣMA = 0: RB·6 = 35·3,5 + 45·7,5
RB = 460/6 = 76,67 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 76,67 = 3,333 kN
اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر
Mx = RA·3,5 = 3,333·3,5 = 11,67 kN·m
الإجابة
Mx = 11,67 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: E (x = 4 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 20,33 kN, R2 = 88,67 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = −25, MC = −33,67, MD = −50,33, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0
الإجابة
علامة E: ME = −90 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: ȳ = 17,35 mm
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلات
خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.